Eine beliebige Ebene R durch P schneidet die Fläche A in einer 

 Kurve (r) o. Ordnung mit dem Doppelpunkte P; die Tangenten der Kurve 

 in P sind die Schnittgeraden s,, s., der Ebene R mit den Ebenen [x y) ^ 

 iX-Z) und (Ä' Y). 



Für den Punkt P gilt der Satz vdn Meusnier in dem Sinne, daß wenn 

 R mit der Ebene (s^ z) den Winkel ojj, mit der Ebene (s» Z) den Winkel »2 

 einschließt, wenn wir mit r^ den Krümmungshalbmesser des Normal- 

 schnittes in der Ebene (Si z) und r^ i^i ^^^ Ebene {s^Z) und schließlich 

 mit R^ den Krümmungshalbmesser der Kurve {r) inP für den Ast, welcher 

 die Gerade Sj berührt und R^ ihren Krümmungshalbmesser für den die 

 ■Gerade s^ berührenden Ast bezeichnen, die Beziehungen gelten 



i?j = ^i cos oji, R<, = r, cos fOj. 



Denn für den Schnitt von R mit der Fläche erhalten wir in recht- 

 winkeligen Koordinaten, für welche P zum Anfangspunkt und s, zur 

 ^- Achse gew'ählt wird, während die zu | senkrechte Achse mit rj bezeichnet 

 wird, aus (5) leicht die Gleichung, 



{è^ + ''f) (I SÎM f -i- V cos rp sin W]) -{- {a sm (p -\- b cos (p) è V cos a^ 

 -\- [a cos (p — b sin rp) tj^ sin cji cos w^ = 0, 



und den Krümmungshalbmesser R^ erhalten wir mit Hilfe dieser Gleichung 

 nach früherem Vorgang, wenn wir setzen 



2 Ri sin (p -]- a sin qp cos co^ -\- b cos (p cos Wj = 0, 



so daß 



r, a -}- b coi w 



iïj = cos «1 



Ji 



und somit in Hinblick auf (5') tatsächlich 



Ri = fj cos ajj. 

 Analog beweisen wir die Richtigkeit der Relazion 



R^ = r^cos a^. 



Übrigens können wir hier den Beweis für die Giftigkeit des Satzes 

 ■von Meusnier gerade so führen wie für einen gewöhnlichen Punkt, etwa 

 wie folgt. 



Es habe allgemein eine Fläche P zum I'inotenpunkt und in ihm 

 [xy), resp. {X Y) zu Berührungsebenen, so daß die Tangenten in P an 

 die Fläche zwei in diesen Ebenen enthaltene Strahlenbüschel bilden. 

 Betrachten wir den Schnitt u der Fläche mit einer Ebene R, welche die 

 in (.-v; y) liegende durch P gehende Gerade Sj enthalten und mit der Ebene 



Bulletin international. XVII. l.'j 



