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is■^ z) den Winkel a einschließen möge. Der Normalschnitt in (Sj 2) besitzt 

 in P die gemeinschaftliche Tangente Sj mit u; der Normalschnitt v, welcher 

 zu ihm unendlich benachbart ist und in der Ebene (s^' z) liegen möge, 

 wird R in einem zu P imendlich benachbarten Punkte P' schneiden, und 

 wir erhalten so auf ihm den unendlich kleinen Bogen {PP'] ; der ihm zuge- 

 hörige Kontingenzwinkel sei J a. Der unendlich kleine Bogen auf u 

 zwischen P und P' sei [PP'], der ihm zugehörige Kontingenzwinkel sei z/ ß. 

 Ist R der Krümmungshalbmesser für it und r der Krümmungshalbmesser 

 für î; im Punkte P, so ist 



R ,. I ^« ^ß \ ,. iPP'] ,. z/a 



T = ^"" I (ppy ■■ iPFir ^""ippT • ^^'"^ ■ 



Da das Verhältnis des Bogens zu seiner Sehne den Grenzwert 1 hat, so 



[PP'l 

 ist lim = 1. Die Winkel z/ «, zl ß streben Grenzwerten zu, für 



welche lim zl « = 2 lim <^ (s', PP'), lim J ß = 2 lim <^ [s^.PP'), so daß. 

 wenn wir das Dreikant P (S],Si',PP') in Betracht ziehen 



,. z/« lim'^is'PP') 



'"" ^^r^ =~T^ Ivw tTtvT- = cos ca. 



Dadurch sind wir zu dem Ergebnis gelangt, daß 



R = r cos CO. 



Weil sich hier ebenso wie in einem gewöhnlichen Punkte r stetig 

 ändert, so ist hiedurch der Satz von Meusnier für beide Fälle bewiesen. 



Wir können somit die durchgeführten Betrachtungen wie folgt zu- 

 sammenfassen. 



„Wenn in einem reellen Punkte P einer reellen Fläche eine Projektivität 

 besteht zwischen den reellen Normalschnitten und den ihnen zugehörigen 

 Krümmungsmittelpunkten, dann ist der Punkt singular und der Kegel, 

 welcher von den Tangenten der Fläche in P gebildet wird, zerfällt; der Strahlen- 

 büschel um P in der Ebene N, ivelche normal zur Achse der erwähnten Normal- 

 schnitte ist, bildet einen Teil desselben, und die angegebene Beziehung gilt 

 im allgemeinen nur für jenen Teil der Fläche, welche in P von der Ebene N 

 berührt wird; für diesen Teil gilt auch der Satz von Meusnier. Die Schmie- 

 gu7igsflächs dieses Teiles, welche von den Krüminungskreisen der entspre- 

 chenden Normalschnitte gebildet wird, ist dritter Ordnung, besitzt in P einen 

 Doppelpunkt, weiter außer N noch eine zweite Berührungsebene Nj und 

 zwischen den Schnitten dieser Fläche deren Ebenen durch P normal zu Nj 

 gelegt werden und ihren zu P gehörigen Krümmungsmittelpunkten herrscht 

 Projektivität auch für den Teil der Fläche A, welcher in P von der Ebene Nj 

 berührt ivird; durch Inversion inbezug auf P als Pol, geht diese Oskulazions- 



