fläche in em hyperbolisches Paraboloid über, woraus folgt, daß die Fläche A 

 noch eine zweite Schar von Kreisen enthält, welche in Ebenen des Büschels 

 durch X liegen." 



4. Im folgenden wird es sich nur darum handeln, die Verwandt- 

 schaft in der Formel (1) konstruktiv auszuwerten. Geometrisch hat diese 

 (1, 2) deutige Beziehung wohl zuerst Emil W e y r betont, aus ihr unter 

 anderen auch die bekannte Formel von Euler abgeleitet, und in seinen 

 ,, Beiträgen zur Kurvenlehre" verwendete er diese Beziehung überdies zur 

 Konstrukzion der Krümmungsmittelpunkte von gegebenen Normal- 

 schnitten in einem Flächenpunkte, wenn zu drei Normalschnitten des 

 Punktes die zugehörigen Krümmungscentra gegeben sind. Diese Kon- 

 strukzion ist jedoch für den praktischen Gebrauch weniger geeignet und 

 besitzt nicht die durchsichtige Einfachheit. Unsere Aufgabe ist es nun zu 

 zeigen, daß man durch die erwähnte Beziehung zu brauchbaren und ein- 

 fachen Konstrukzionen gelangen kann, wodurch wir aut kurzem Wege zu 

 einer Reibe von Konstrukzionen gelangen, von denen mehrere von Mann- 

 heim und d'Ocagne auf anderem Wege gefunden worden sind; -wir ver- 

 weisen diesbezüglich auf die betreffenden Stellen in Mannheims ,, Principes 

 et développements de géométrie cinématique" und d'Ocagnes ,, Cours de 

 géométrie descriptive et de géométrie infinitésimale." 



5. Betrachten wir also einen gewöhnlichen Punkt der Fläche 

 mit der Normale n und Berührungsebene E und ordnen jedem Punkte P 

 auf der Normale n in der Berührungsebene E diejenige Gerade p^ resp. p.,^ 

 zu, welche der Ebene (/>! «) resp. (/).^ n) des Normalschnittes angehört, 

 dessen zu gehöriger Krümmungsmittelpunkt mit P zusammenfällt. 

 Dadurch erhalten wir eine (1, 2) deutige Verwandtschaft zwischen der 

 Punktreihe (P) auf n und dem Strahlenbüschel der Geraden p^, p2 in der 

 Ebene E. Diese Verwandtschaft ist eine Projektivität zwischen der 

 Punktreihe [P) und der Strahleninvolution {pi p^, welche durch die zu 

 den Punkten P, . . auf n gehörigen Strahlenpaare p-^^ p^, . . in E gebildet 

 wird. Schneiden wir diese Involuzion mit einem durch gehenden, also 

 in E gelegenen Kreis k, so erhalten wir auf k eine Punktinvoluzion P^ Pj, . . . 

 und die Verbindungsgeraden p, . . . der Punktepare dieser Involuzion 

 werden einen Strahlenbüschel (/>) bilden, der zu (P) projektiv ist. 



Unsere Konstruktionen werden lediglich darauf ausgehen, die Pro- 

 jektivität zwischen (P) und [p) herzustellen. 



Fällt der Punkt P mit zusammen, so ist p = 0, also vermöge (1) 

 ist £ + -P"^ + f^ ^^ = 0; deshalb fallen die entsprechenden Strahlen /»i, p^ 

 mit den durch in E gehenden isotropischen Geraden, also die Punkte 

 Pi, Pg mit den Kreispunkten zusammen, deren Verbindungsgerade p^ 

 die unendlich ferne Gerade von E ist. Daraus folgt, daß (/>) ein Parallel- 

 stralilenbüschel ist. Projizieren wir (P) parallel oder zentral in die Ebene 

 E nach (P'), so sind (P') und (/)) gleichfalls projektiv. 



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