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durch deren Schnitt S^ mit A^ C^ die Parallele zu b zu legen, welche k in 

 den Punkten S^, S^ der gesuchten Geraden Sj, s^ trifft. 



7. Die entwickelte Behandlung der Konstrukzionen ist auch vom 

 darstellend geometrischen Standpunkt vorteilhaft. Sie läßt sich direkt 

 anwenden, wenn wir die Konstrukzionen nicht in der Berührungsebene E, 

 sondern in irgend einer Projekzionsebene P selbst vornehmen wollen. Wir 

 wollen hier als Beispiel eine Zentralprojekzion voraussetzen und die Pro- 

 jekzion Sj', s^' der Tangenten an die Asymptotenlinien, sowie die Projekzion 

 /", /:(:' der Tangenten t, t^ an die durch den Flächenpunkt gehenden 

 Krümmungskurven konstruieren. Hiebei setzen wir die Projekzionen von 

 drei Flächentangenten Aj, b^, c^ und der Normale n in 0, sowie der zu 

 gehörigen Krümmungsniittelpunkte A, B, C der in den Ebenen (naj), 

 («ö]), (n Cj) gelegenen Normalschnitte der Fläche als gegeben voraus; 

 Ci sei die Spur, em die Fluchtgerade der Ebene E. Endlich sei Zg die 

 Orthogonalpro jekzion des Projekzionszentrums in die Ebene P und [Z] 

 die Umklappung desselben um die Fluchtgerade ex . Die Rechtwinke 1- 

 involuzion um [Z] schneidet auf eœ eine Punktmvoluzion ein, deren 

 Doppelpunkte I\, I^ die Projekzionen der in E liegenden Kreispunkte 

 sind. (Fig. 2.) 



Wir legen nun den Kreis k durch die Punkte 7^', /j', 0'; derselbe 

 schneidet alle Kreise durch [Z], die ecc zur Zentrale haben orthogonal 

 und kann etwa als Orthogonalkreis zu demjenigen \on ihnen, welcher durch 

 0' geht, konstruiert werden. Da es aber oft nicht möglich sein wird, diesen 

 darzustellen, so können wir den auf [Z] Zg liegenden Mittelpunkt von k 

 etwa daraus ermitteln, daß seine Entfernung von ex gleich ist 



1 (Z2+g2 + Ä2)_ 



2h 



worin / die Entfernung des Zentrums Z von c x , ,t; die Entfernung des 

 Punktes 0' von [Z] Z^ und h seine Entfernung \on e'oo bedeutet. 



Es mögen nun a\, b\, c\ den Kreis k noch in A\, B\, C\ schneiden. 

 Wir haben in der Projekzionsebene eine (1, 2) deutige Verwandtschaft 

 zwischen der Punktreihe A' , B' , C . . . . und dem Strahlenbüschel a\, b\, 

 c\ . . . . Aus diesem zu einer Involuzion sich anordnenden Strahlen- 

 büschel leiten wir mithilfe seiner Punkte A\, B\, C\ wie früher den zu der 

 Punktreüie A' , B' , C ,0' . . . . projektiven Strahlenbüschel a, b, c, ex . . . 

 ab, in dem wir diesen mit der Geraden A\ B\ schneiden, auf der wir also 

 die zu A', B' , C, 0' . . . . projektive Punktreihe A\, B\, Q, Poo, . . . 

 erhalten, wobei Pm der Schnittpunkt von^4'i B\ mit e oo bezeichnet. In 

 dieser durch die drei Paare A' A\, B' B\, 0' Px gegebenen Projektivität 

 finden wir mithilfe der Projektivitätsachse z/ den zu C gehörigen Punkt 

 Cfl. Dann ist c ^ C\ Cq und der Schnittpunkt R œ von e x mit c ist Mittel- 

 punkt des Büschels (a, b, c . . . .). Ist Sx der Fluchtpunkt von n, so findet 

 man den ihm in der Projektivität {A' , B' , C . . . . S'x) 7^ {A\ B\ Cq . . . 



