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Krümmungshalbmesser. Wir schneiden wiederum (Fig. 4.) die Geraden 

 A, B durch irgend einen durch gehenden Kreis in A^, B^ und über- 

 tragen A nachO A^ auf die Gerade B, und zwar entweder auf dieselbe 

 Seite von mit B oder auf die entgegengesetzte, je nachdem die Krüm- 

 mungsmittelpunkte der durch A, B gehenden Normalschnitte auf der- 

 selben oder auf entgegengesetzten Seiten von liegen. Ist wieder Um 

 der unendlich ferne Punkt von A^ ßi, so ist die Projektivität der Punkt- 

 reihen (0. B, .4^. . .), [Ux,, B^, A^ ...'.) durch drei Paare sich entspre- 

 chender Punkte festgelegt. Die Pascalgerade J dieser Reihen verbindet 

 B mit dem Schnitt von .4 mit der durch A^ zu B^ A^ gezogenen Paral- 

 lelen. Die Parallele durch zu zl möge .4^ ß^ im Punkte Sg schneiden. 

 Dieser Punkt ist offenbar der dem unendlich fernen Punkt in (0, B, A^^,, . . .) 

 auf A-^ B-^ entsprechende Punkt. Der durch ihn gehende Strahl f^ im 

 Büschel (/)) träfe also k in zwei Punkten S^, 5.,, welche den Asymptoten- 

 richtungen angehören würden. Weil nun OA und OB konjugiert sind, 

 so müssen sie von einander durch die Asymptotenrichtungen harmonisch 

 getrennt sein, also trennen 5^, S.j die Punkte .4i, ß^ gleichfalls harmonisch. 

 Somit ist die Gerade p^ ermittelt; sie verbindet 5,, mit dem Pol von A^ B^ 

 inbezug auf k. Daraus folgt die Lösung unserer ersten Aufgabe. 



Was die Aufgabe 2. anbelangt, so schneidet man ni^ mit k in M^, führt 

 durch diesen Schnittpunkt die Parallele zu />,., welche A^ B^ in M„ trifft; in 

 der Projektivität zwischen (.4^, B, . . .) und (^4i, ßj, Uca . . .) entspricht 

 dem Punkte Mg in dieser Punktreihe der Punkt M^ in jener; M^ ist 

 alsdann der Krümmungshalbmesser für den Schnitt in der Ebene (w ni-^. 



Die Endpunkte des zu p^ senkrechten Durchmessers von k gehören 

 bereits den Tangenten t, t^ der Krümmungskurven an. 



Endlich erhalten wir die Lösung der 4. Aufgabe wie folgt: 



Trifft gl den Kreis k noch im Punkte Gj, so hat man bloß G^ mit 

 dem Schnittpunkt P,. von A^ B^ mit dem zu py senkrechten Durchmesser 

 des Kreises k zu verbinden und die Verbindungsgerade nochmals in H^ 

 mit k zum Schnitt zu bringen. Alsdann ist h-^^0 H^. Denn die kon- 

 jugierten Strahlenpaare schneiden k in einer Involuzion, deren Pol P„ 

 mit dem Pol von p,, inbezug auf k zusammenfällt. 



10. In dem angeführten Werke von d'Ocagne ist eine einfache Kon- 

 strukzion der zu irgend einer Flächentangente im betrachteten Punkte 

 konjugierten Tangente angeführt, wenn die Tangenten t, i^ an die Krüm- 

 mungskurven und die ihnen entsprechenden Hauptkrümmungsradien i\, r., 

 gegeben sind. Diese Konstrukzion läßt sich sehr leicht auf den Fall über- 

 tragen, daß statt der Tangenten an die Hauptnonnalschnitte irgend zwei 

 konjugierte Tangenten A,0 B und die ihnen entsprechenden Krümmungs- 

 halbmesser A = r^, B = Ya gegeben sind. 



Um dies einzusehen, betrachten wir (Fig. .5) das durch A und B 

 festgelegte Parallelkoordinatensystem, worin wir A als die .r-Achse, 

 B als die y-Achse annehmen. 



