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Punkten, welche den Asymptotenrichtungen des Punktes angehören. 

 Schneidet D den Kreis k noch im Punkte A2, so schneiden sich die Tan- 

 genten in A^ und A^ an k im Punkte S, welcher auf d liegt. Es ist dies 

 der Mittelpunkt der Strecke E D, wenn E = X^ A^ .0 A^ ist. Daraus 

 entnehmen wir, daß D die zu a konjugierte Richtung ist. Es heiert also 

 unsere Konstrukzion des Krümmungshalbmessers, welcher zu a gehört, 

 gleich auch die zu a konjugierte Richtung. 



13. Sind OX und OY gegeben und sollen für einen gegebenen Krüm- 

 mungsradius die Tangenten Cj, c^ der zugehörigen Normalschnitte konstruiert 

 werden, so tragen wir (Fig. 8) etwa diesen und OX auf Y entsprechend 

 auf nach C resp. X' und beschreiben wieder k wie zuvor. Trifft die 

 Verbindungsgerade der Schnittpunkte von k mit den gesuchten Geraden 



Ci und Cj die Gerade OX in Cq, so ist 

 (X' YC'O) = (A\ Co A' rx ) , wenn A c« 

 den unendlich fernen Punkt von X 

 bezeichnet. Daraus folgt, daß die 

 Parallele durch Y zu OX mit A'^C im 

 Punkte P zu schneiden ist, worauf X' P 

 auf OX schon den Punkt C,, festlegt. 

 Konstrukzion der Asymptoten- 

 richtungen, wenn X und Y gegeben 

 sind. 



Wir benützen wieder die soeben 

 getroffene Anordnung, wodurch wir 

 zur folgenden Konstrukzion geführt 

 werden. 

 Man führt durch Y die Parallele zu X, durch Aj die Parallele zu 

 Y und verbindet ihren Schnittpunkt mit A'. - Die Verbindungsgerade 

 trifft OX in Dg und die Senkrechte in D^ zu X schneidet k in zwei Punkten, 

 deren Verbindungsgeraden mit die fraglichen Asymptotenrichtungen sind. 

 14. Konstrukzion 1. der Asymptotenrichtungen, 2. der Tangenten OX, 

 Y an die Krümmungskurven , wenn zwei konjugierte Tangenten A, B 

 mit den entsprechenden Krümmungshalbmessern für die zugehörigen Normal- 

 schnitte gegeben sind. 



1. Wir führen durch A die Gerade ^< || JB und durch B die Gerade 

 iß (I OA. Die Paare konjugierter Tangenten bilden eine Involuzion, schneiden 

 also auf ta und t,^ je eine Punktinvoluzion ein. Betrachten wir etwa die 

 erstere; für sie ist A der Mittelpunkt, und der Punkt G^ = ta . t^i bildet 

 mit dem Punkte G.^, für welchen A G^ im entsprechenden Sinne gleich ist 

 OA, ein Paar in dieser Involuzion. Die Asymptotenrichtungen verbinden 

 die Doppelpunkte dieser Involuzion mit 0. Daraus folgt, daß für die 

 Schnittpunkte N-^, N^ der Asymptotenrichtungen mit t,_, die Relazion gilt 



ÄTN^^ = ÄNi = ±0A .OB = ±r,.rß, 

 je nachdem der Punkt hyperbolisch oder elliptisch ist. 



