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d'Ocagne entwickelt; dieselbe läßt eine einfache, rein geometrische Ab- 

 leitung zu, die hier angeführt werden möge. 



Wir können unbeschadet der Allgemeinheit die Projekzionsebcne 

 durch den Flächenpunkt legen (Fig. 16); es sei s die Spur in dieser Ebene 

 für die Berührungsebene an die Fläche. Wir klappen die Berührungs- 

 ebene in die Projekzionsebcne imi. Dabei tragen wir gleich auf die umge- 

 klappten Tangenten X, Y der Hauptnormalschnitte die Längen X, 

 resp. Y der entsprechenden Hauptkrümmungsradien auf. Der umge- 

 klappte Projekzionsstrahl des Punktes ist die Senkrechte / in zu s. 

 Auf/ üb2rtrag>_'n wirO X undO YnachOÄ'i resp. Yj entsprechend auf, 

 also auf dieselbe Seite oder zu entgegengesetzten Seiten von 0, jenachdcm 

 elliptisch oder hyperbolisch ist. Die Senkrechten in X^ und Yj^ zu / mögen 

 X und Ol' in den Punkten |, rj treffen; alsdann gibt, wie wir wissen, |ij 



Fig. IG. 



die zu l konjugierte Richtung an. Die Parallele m durch zn ^ t] ist die 

 Ümklappung der Tangente an die Berührungskur\e der Fläche mit dem 

 projizierenden Zylinder G. 



Denken wir uns die Ellipse e mit den Halbachsen X und Y. 

 Die Parallelen durch A';^ zu Y und durch Yj^ zu X schneiden sich im 

 Punkte P auf dieser Ellipse und j tj ist offenbar die Tangente in P an sie; 

 es geht somit | ij auch durch P und schneidet l im Punkte L, so daß Ol- 

 der zu l gehörige Krümmungsradius des durch l gelegten Normalschnittes 

 ist. Bestimmt man ebenso die Punkte A'^, Y[i auf vi, für die A'ji = X, 

 Yf^ = Y und zieht durch A'^, y„ die Parallelen zu Y resp. A,. 

 so treffen sich dieselben wieder in einem Punkte Q auf der Ellipse e; treffen 

 überdies die Senkrechten in X^, 1'^ zu m die Geraden X, Y in |^ resp. 

 rii, so ist die Gerade |i % parallel zu /, geht durch Q und trifft m im Punkte 

 M, so daß M der zu m gehörige Krümmungsradius ist. M ist auch 

 gleich dem Krümmungsradius für den durch m eehenden Normalschnitt 

 des Zylinders G, für welchen / und s die Tangenten an die Hauptnormal- 

 schnitte in sind, und zwar ist der zu l gehörige Krümmungsradius un- 

 endlich groß. Spezialisieren wir iür diesen Fall die Konstrukzion, welche 

 im Art. 12 entwickeil worden ist. Ist r der Krümmungsmittelpunkt des 

 bTormalschnittes durch s und schließt m mit / den Winkel qi ein, so folgt 



