•247 



21. Konstnikzion des Krümmungshalbmessers für die orthogonale 

 Kontur einer Fläche im allgemeineren Falle. 



Es möge hier ein Fall behandelt werden, der in der darstellenden 

 Geometrie häufig auftritt. Wir setzen voraus (Fig. 18), daß auf der Fläche 

 durch den Punkt 0, welcher sich als ein Punkt der Kontur projiziert, zwei 

 Kurven verlaufen, k-^, k^, deren zu gehörige Krümmungsmittelpunkte 

 Xj, K^ gegeben sind; außerdem sei man in der Lage zu der Tangente OA 

 einer von ihnen, etwa k^, die konjugierte Richtung b-^ zu konstruieren. 



Wir ermitteln zuerst auf bekannte Weise aus /<',, /u die Krümmungs- 



Fig. 18. 





mittelpunkte H-^, Ho der Normalschnitte durch die Tangenten OC und OA 

 in zu den gegebenen Kurven k^, ko', auf diese T^ingenten tragen wir die 

 Längen der Halbmesser i/j, H„ nach C resp. A auf und legen durch 

 in der Berührungsebene der Fläche einen Kreis k, der semen Mittelpunkt 

 « auf der Geraden OA hat und dieselbe noch in A-^ und OC m C^ trifft. 

 Tragen wir noch auf C die Strecke ^o= A entsprechend auf und 

 schneiden die Senkrechte in A^ zu A■^ mit der Parallelen durch oj zu èj 

 im Punkte P. Dieser Punkt ist Pol inbezug auf k für die Sehne, welche 

 die Geraden A,b-^ auf k festlegen. Legen wir wieder die bekannte Pro- 

 jektivität der Punktreihen (.4|„ C, . . . .), [A^, Q, L''gc. . . .), worin C7oo 

 unendlich fern auf A^ Cj liegt, fest. Man zieht durch A^ die Parallele zu 

 Cj/lj bis zum Schnitt mit A-^ und verbindet diesen Schnittpunkt durch 

 die Gerade z/ mit C; J ist die Pascalgerade der angeführten Punktreihen. 

 Die Parallele zu ^ durch treffe C^ A^ in R; alsdann würde RP den 

 Kreis k in zwei Punkten treffen, welche den As\-mptotenrichtungen des 

 Punktes angehören. Deshalb schneidet der zu P R senkrechte Durch- 

 messer des Kreises k diesen in zwei Punkten, durch welche die Tangenten 

 X, Y an die Hauptnormalschnitte gehen. Die Parallele durch A zu 



