312 



falls durch K und es ist somit der Punkt A' das Ähnlirhkeitszentruni der 

 Punktreihen (P), (Po). 



Wir können aber auch einfach zu diesem Ergebnis gelangen, wenn 

 wn- eine beliebige Normale h von S betrachten, welche h in P, u m P„ 

 treffen, und deren Fußpunkt mit -V bezeichnet werden möge. Die Symme- 

 trale der durch S geführten zu ;; normalen Sehne treffe /;„ in P^, h in P' 

 und in P,,,'. Es ist P P' gleich der Entfernung ,v des Punktes .Y von der 

 Scheiteltangente s. Trifft Pg P die Achse o in A'', so ist deshalb A'' P,„ = x, 

 und da SP„,= x-^k, so ist S K' = k und deshalb fällt A'' mit dem 

 Hauptkrümmungsmittelpunkt A zusammen. 



Um sonach die Nor malen an eine Parabel von Irgend einem Punkt P 

 ihrer Ebene zu konstruieren, verbinden ii<lr P mit K, machen PPn = A'P; 

 der um P,, als MUtelpunkt beschriebene und durch S gehende Kreis ist bereits 

 der zugehörige Joachimsthalsche Kreis. 



7. Ein_' Vereinfachung der Ivonstrukzion des Xurmalenproblems ge- 

 winnen wn-, wenn wir die Verwandtschaft zwischen den Punkten P der 

 Ebene eines Ivegelschnittcs S und den zugehörigen Mittelpunkten P^ 

 der inbezug auf einen Hauptscheitel A des Kegelschnittes abgeleiteten 

 Joachimsthalschen Kreise etwas näher untersuchen. 



Beschreibt P einen Durchmesser h des Kegelschnittes i, so beschreibt 

 P„ gleichfalls einen Durchmesser desselben h^. In unserer Verwandtschaft 

 entspricht also einer Geraden /( durch den Mittelpunkt von ïl wieder 

 eine Gerade li^ durch 0; umgekehrt entsprechen einer Geraden //p zu'ei 

 Gerade h, h' durch 0. 



Die Konstrukzion von h^^, aus gegebenem /; besteht (Fig. 1, Taf. 1.} 

 darin, daß wir S mit dem Lot \-on .4 auf /; in B schneiden: alsdann steht 

 Äq senkreclit auf dem zu OB konjugierten Durchmesser von )i;. Ist um- 

 gekehrt Afl gegeben, so suchen wir zu dem Durchmesser von X, welcher auf 

 /?(, senkrechi: steht, den konjugierten, den wir mit S in B und B' zum 

 Schnitt bringen; alsdann sind die Lote von auf AB und A B' die dem 

 Strahl /'f| entsprechenden Geraden h, h' . Wir haben also zwischen dem 

 Büschel (Aq) der Strahlen /îq und dem Büschel (/;) der Strahlen /;, h' 

 eine (1, 2) deutige Verwandtschaft. In derselben entspricht die Haupt- 

 achse OA sich selbst. 



Führen wir durch den zu A diametral gegenüberliegenden Scheitel 

 A' die Parallele /^^ zu /; und durch A die Parallele Ä/ zu h' . Bezeichnet C 

 den Schnitt von hy und /;/, so ist wegen A' B \\ AB' der Punkt B Höhen- 

 schnitt im Dreieck AA'C, und es geht das Lot \'on B auf OA durch C. 

 Verlegen wir nun die Durchmesserinvoluzion \on S parallel so nach J, 

 daß ihr Mittelpunkt nach B kommt, schneiden sie dann mit der Haupt- 

 achse A und verbinden die auf ihr in dieser Weise entstandene Punkt- 

 involuzion mit C durch eine Strahleninvoluzion J^. Beziehen wir die Invcj- 

 luzionen ./, Jj mittelst OA perspektiv aufeinander, so erkennen wir, 

 daß die Strahlen eines jeden Paares in ./ auf den Strahlen des ihnen per- 



