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Außerdem werden wir aber auch solche imaginären Kegelschnitte unter 

 suchen, welche reelle (der Lage nach) Achsen (die Halbachsen = a + /a. 

 Ô + ? ß) und außerdem vier reelle Punkte und vier reelle Tangenten be- 

 sitzen; dagegen auch solche, welchen kein einziges von diesen reellen 

 Elementen zukommt. 



Diese Kegelschnitte sind, ebenso wie die reellen, imaginäre Ellipsen, 

 Hyperbeln und Parabeln. Die imaginäre Ellipse hat keinen reellen un- 

 endlich fernen Punkt, die imaginäre Hyperbel entweder einen, oder zwei 

 reelle unendlich ferne Punkte; die imaginäre Parabel berührt die reelle 

 rmendlich ferne Gerade in einem reellen oder auch imaginären Punkte. 

 Zunächst wollen wir voraussetzen, daß diese Kurven in einer reellen 

 Ebene liegen. 



I. Imaginäre Ellipsen. 



a) M it reelle n A c h s e n. 



Ein Kegelschnitt A' sei durch seine reellen Bestimmungsstiicke 

 gegeben: die (nicht begrenzten) Achsen A^ _L 1' (Fig. 1), einen Punkt a 

 rmd eine Tangente T. Die Kurve K geht dann auch diuch die reellen 

 Punkte b, d, c, welche mit dem Punkte a zu den Achsen und zum Mittel- 

 punkte symmetrisch liegen, und berührt die zu T S3mimetrisch liegenden 

 Geraden U, V, W. Diese vier Tangenten teilen die Ebene in neun Felder 

 imd bestimmen eine Kegelschnittschar, deren reelle Kurven in den in 

 Fig. 1 nicht schraffierten Feldern liegen. Liegt nun der Punkt a in einem 

 von diesen fünf Feldern, so kann man aus den Punkten a, h, c. d und der 

 Tangente T auf bekannte Art zwei reelle Kegelschnitte konstruieren 



wo (jp und \p reelle Funktionen der Koordinaten und reellen Parameter sind. Wenn 

 nun den Koordinaten reelle Werte genügen sollen, so müssen die reellen Gleichun- 

 gen qp = 0, ip = bestehen, welche in Bezug auf die Koordinaten zweiten Grades 

 sind, sonach vier Werte für jede Koordinate liefern, welche paarweise reell oder 

 konjugiert-imaginär sein können. Daraus folgt, daß ein imaginärer Kegelschnitt 

 dieser Art zwei oder vier reelle Punkte enthalten kann. Und dual geht aus der 

 quadratischen Gleichung in Linienkoordinaten hervor, daß dieselbe Kurve auch zwei 

 oder vier reelle Tangenten haben könne. — Eine reelle Gerade P = schneidet die 

 Kurve A' s qp -f- i i|i = i. A. in zwei imaginären, aber nicht konjugicrtev Punkten 

 w,, m, (d. i. ihre gleichnamigen Koordinaten haben nicht konjugiert-komple.xe Werte), 

 weil den Wurzeln der Gleichungen P = 0, ii=qp-|-«i/) = die Eigenschaften 

 einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten nicht zukommen. Infolge 

 dessen sind auch der Mittelpunkt der Sehne mi m^ imd die Durchmesser der Kurve 

 nicht reell. Ebenso kann man sich leicht überzeugen, daß emem reellen Pole zwar 

 ebenfalls eine gerade Polare (als der Ort vierter harmonischer Pole auf den durcli 

 den Pol gehenden Sekanten) entspricht, aber i. A. eine imaginäre Polare. Und eine 

 weitere Folge davon ist, da.ß auf einer beliebigen Geraden dieser Kegelschnitt K 

 keine reelle Involution von harmonischen Polen erzeugt, sondern daß einem reellen 

 Pole auf derselben Geraden ein konjugicrt-imaginärer Pol entspricht — ■ eine neue 

 Art von projektiven Punktreihen, — Einzelne Ausnahmen von diesen Regeln 

 werden in der Folge näher besprochen werden. 



