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welche der Aufgabe genügen. \A'enn wir jedoch den Punkt (( in einem 

 der vier schraffierten Felder wählen, so gibt das Resultat zu'ci konjugicrt- 

 imai^imu'c Ellipsen K, K'. Denn der Kegelschnittbüschel, welcher durch 

 die Grundpunkte a, b, c. d gegeben ist (Fig. 1), schneidet die Tangente T 

 in einer Punktinvolution, deren zwei Paare g^ g.,, h^ /;., von den degenerierten 

 Kegelschnitten (öl), TU), (ad, Fe) aus T ausgeschnitten werden.-) Diese 

 Paare trennen sich, die In\'olution ist elliptisch, ihre Doppelpunkte x, y sind 

 imaginär, die Kegelschnitte {ab c d x) ^ K, (a b c d y) ^^ K' sind somit 



ebenfalls imaginär. Es sind Ellipsen; denn hätten sie einen reellen un- 

 endlich fernen Punkt u-^. , so ginge durch die fünf Punkte a, b, c, d, u^ 

 nur ein reeller Kegelschnitt. Jede von diesen zwei imaginären Ellipsen 

 hat reelle Achsen (der Lage nach), einen reellen Mittelpunkt, vier reelle 

 Punkte, \ier reelle Tangenten, und das einzige reelle Poldreieck o u^ v^ 

 (Fig. 1, ;/^ , î'^ sind unendlich ferne Punkte der Achsen), und alle diese 

 reellen Gebilde sind den Ellipsen gemein. Jedem anderen reellen Pole p 

 entspricht eine imaginäre Polare und umgekehrt. Denn sonst würde die 

 Verbindungsgerade ap die Polare P in einem reellen Punkte /)^ schneiden, 

 und der vierte zu p p-^a harmonische Punkt a.^ würde der Kurve angehören, 

 und diese, die fünf reellen Punkte a, a^, b, c, d enthaltend, müßte ganz 

 reell sein. Deshalb sind auch ihre sämtlichen Durchmesser {X, Y aus- 

 genommen) imaginär, imd eine durch den ^littelpunkt o gehende reelle 

 Gerade ist kein Durchmesser der Kurve. ^) 



-) Der Mittelpunkt der Involution ist co, ihre Potenz = —ml-. 



'') Dies alles bestätigt auch die analytische Untersuchung. Die Längen der 

 Halbachsen haben komplexe Werte a -\- i a, b -{- i ß. der Kurve entspricht eine 

 Gleichung mit imag. Koeifizienten: die Mittelpunkte paralleler Sehnen sind imaginär 

 u. s. \v. (Siehe Anmerkung auf S. 2 unten.) 



