■s-i: 



Hat die imaginäre Ellipse überhaupt zwei reelle Punkte a, b, so 

 erzeugt sie auf der Geraden a b ausnahmsweise eine reelle In\'olution 

 harmonischer Pole; es bilden je ein Punktepaar jede zwei reelle Punkte 

 auf der Geraden a b, welche durch a, b hannonisch getrennt sind. Daraus 

 schließen wir, daß jedem reellen Pole p, welcher auf ä~ö liegt, eine zwar 

 imaginäre Polare entspricht, daß jedoch der auf ihr liegende einzige reelle 

 Punkt ^1*) eben auf die Gerade a b fallen muß. Dual erzeugt die imaginäre 

 Ellipse im Punkte {T U) , in welchem sich ihre zwei reelle Tangenten 

 schneiden, eine reelle Involution harmi:)nischer Polaren; jede zwei reelle 

 Geraden, welche durch T, U harmonisch getrennt werden, geben ein 

 Strahlenpaar derselben. — • 



Außerdem könnte man eine imaginäre Ellipse K mit reellen Achsen 

 noch anderer Art bestimmen, welche vier reelle Punkte, aber keine reelle 

 Tangente besitzt, wenn man z. B. die Bedingimgen feststellen würde, 

 daß K durch einen gegebenen Punkt a gehen und einen gegebenen reellen 

 Kreis berühren soll, von dem a ein innerer Punkt ist. Oder könnte A' vier 

 reelle Tangenten, aber keinen reellen Punkt haben, wenn derselbe z. B. 

 eine reelle Gerade T und einen Kreis berühren sollte, welcher ganz inner- 

 halb eines in Fig. 1. schraffierten Feldes liegen wüixle u. s. w. 



b) ^I i t zwei reellen konjugierten Durchmessern. 



Eine imaginäre Ellipse K kann auch durch zwei reelle konjugierte 

 Durchmesser M, lY (Fig. 2), einen reellen Punkt a mrd eine reelle Tan- 

 gente T gegeben sein. Zum Punkte a be- 

 stimmen wir die in Bezug auf M, A', o 

 klinogonal- resp. zentrisch-symmetrischen 

 Punkte b. d, c, wählen dann, damit A' 

 imaginär wird, die Tangente T so, daß die- 

 selbe den Punkt a \-on den übrigen b, c, d 

 trennt, und zeichnen die übrigen sym- 

 metrischen Tangenten U, I', TT. Die 

 übrigen Eigenschaften der IviuA-e stim- 

 men mit jenen sub a) überein; die Achsen 

 derselben jedoch, sowie alle Durchmesser 

 außer M, .¥ sind imaginär. Diese imagi- 

 näre Ellipse A kann auch durch ihren 

 reellen Mittelpunkt o (Fig. 2), zwei reelle 

 Punkte rt, b und eine reelle Tangente T 

 gegeben sein. In diesem Falle konstruieren wir zunächst die zu a, b in 

 Bezug auf o zentrisch symmetrischen Punkte c, d, und wählen dann die 



Fig. 2. 



*) Nämlich der Schnittpunkt mit der konjugiert-imaginären Geraden. — 

 Es kann auch leicht der Satz nachgewiesen werden: wenn der reelle Pol p eine be- 

 liebige reelle Gerade R durchläuft, welche nicht zwei reelle Punkte der imaginären 



