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des von den übrigen drei Punkten gebildeten Dreiecks. Dann mnU die 

 Tangente T so gewählt werden, daß sie einen Punkt, z. B. a von den übrigen 

 drei trennt, da sonst die Kurve K reell werden würde. Denn die Grund- 

 punkte a, h, c, d bestimmen einen Kegelschnittbüschel, welcher die Tan- 

 gente T in einer Punktinvolution schneidet, deren Doppelpunkte die 

 Berührungspunkte der beiden durch die gegebenen Elemente bestimmten 

 Kegelschnitte liefern. Diese Involution ist in unserem Falle elliptisch, 

 da die degenerierten Kegelschnitte des Büschels {ab, cd), (bc, ad) die 

 Tangente T in den Paaren 11', 22' schneiden, welche sich trennen. Die 

 Elemente [ab c d T) bestimmen demnach zwei konjugiert-imaginäre Kegel- 

 schnitte K, K', und jeder von ihnen hat außer den vier gegebenen reellen 

 Punkten auch vier reelle Tangenten^) dagegen einen imaginären Mittel- 

 punkt, imaginäre Achsen und Durchmesser. 



Beweis und Konstruktion. Bezeichnen wir die Schnittpunkte 

 {a b. c d) ^ p, [a d, b c) ^ q, (a c, b d) ^ r, die Geraden q r^P, p r ^ Q, 

 f q^^^R. Das Diagonaldreieck p qr ist das gemeinsame Poldreieck der 

 Kegelschnitte im Büschel ab c d \x. z. nicht nur in Bezug auf die reellen, 

 sondern auch auf die imaginären Kurven K. Denn die Gerade a b schneidet K 

 in den reellen Punkten a, b; es geht also die Polare P des Poles p durch 

 den reellen Punkt p', für welchen {abpp') = — • 1; und auf der die A' 

 in den reellen Punkten c, d schneidenden Geraden geht P durch den 

 reellen Punkt p" , für welchen [c d p p") = — ■!; die Verbindungsgerade 

 p' p" E^ P ist sonach reell. Dasselbe gilt auch für qQ,r R. Der Kegelschnitt 7v 

 transformiert sich im perspektiv-involutorischen Felde in sich selbst, 

 für welches p das Involutions-Zentrum und P die Involutionsachse ist. 

 Der Tangente T entspricht in diesem Felde die homologe reelle Tangente U, 

 welche den Schnittpunkt (T P) ^ m mit dem zu 2 homologen Punkte 

 {p 2, a d) ^ II verbindet, denn die Geraden b c, ad sind homolog. Natürlich 

 könnte man U auch nach {m p, P, T, U) = — ^ 1 konstruieren. Analog 

 findet man die zu T homologe dritte reelle Tangente T' im in^•olut()rischen 

 Felde {qQ), und die vierte W im Felde {r R). 



Außer P, Q, R entspricht dem Kegelschnitte A' keine reelle Polare 

 zu einem reellen Pole (außer p, q, r, siehe S. 3), er hat sonach keinen 

 reellen Mittelpunkt, keine reellen Achsen und Durchmesser. 



ß) Ist das Viereck ab c d nicht konvex, d. i. fällt ein Punkt, z. B. c 

 ins Innere des is. ab d, so behält zwar die vorige Konstruktion ihre volle 

 ■Gültigkeit, wie aus Fig. 4 zu ersehen ist; soll jedoch die Ellipse K imaginär 

 sein, dann muß die Tangente T so gewählt werden, daß dieselbe die ge- 

 gebenen vier Punkte entweder gar nicht, oder zwei Punkte von den beiden 

 übrigen trennt (in Fig. 4 die Punkte a, c von den Punkten b, d). 



2. In der reziproken Aufgabe sind von der imaginären Ellipse vier 



^) Diesen Gedanken verdanke ich Herrn Dozenten Dr. Tech. Fr. Kadefdvek; 

 •den Beweis dafür gründete er auf die kollineare Transformation der in Fig. 1. dar- 

 gestellten Gebilde. 



