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wird, wählen wir den Punkt a innerhalb des von den Tangenten gebildeten 

 A ;«. / s, den Punkt b aber außerhalb. Die Kurve hat dann zwei weitere 

 reelle Punkte c, d und eine vierte reelle Tangente W. 



Konstruktion. Die Punkte a, b liegen entweder in demselben Winkel, 

 welcher von zwei der gegebenen Tangenten gebildet wird, oder zum 

 mindesten in zwei Scheitelwinkeln; in unserem Falle in demselben A\'inkel 



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T U. Die Kur\-e A' erzeugt auf der Verbindungsgeraden a b eine reelle 



Punktinvolution harmonischer Pole I^, und im Schnittpunkte der Tan- 

 genten [T U) ^E m eine reelle Strahleninvolution harmonischer Polaren, 

 welche die Gerade a b in einer zweiten Punktinvolution /., schneidet. 

 Das den beiden Involutionen 7^, I.^ gemeinsame Punktepaar (p p') gibt 

 zwei Pole, welchen zwei reelle Polaren mp'^P, mp'^P' entsprechen. 

 Die Punkte p, p' erhalten wir auf bekannte Art als die Doppelpunkte 

 der In\olution («, h), {t, u). Im involutorischen Felde {p P) konstruieren 

 ^\lr nun die zu V homologe Tangente W; sie verbindet den Schnittpunkt 

 (VP)=c mit dem zu f = {T V) homologen Punkte g~{pj, U). Die 

 Punkte c, d erhalten wir weiters nach der Aufgabe 2. z. B. als homologe 

 zu a, b in der Involution {/ R). Der Punkt a bestimmt mit den Tangenten 

 T, U , V, W zwei konjugiert-iiuaginäre Ellipsen. Nun können wir jedoch 

 das anderemal den Punkt p' zum Pole und P' zur Polare des Kegelschnittes 

 machen und erhalten durch analoge Konstruktion zwei weitere imaginäre 

 Ellipsen, welche eine andere \-ierte reelle Tangente W und zwei reelle 

 Punkte c', d' (außer a, b) gemein haben. Die Aufgabe gibt sonach ini ganzen 

 A-ier imaginäre Kurven. 



Wenn wir beide Punkte a, b im Innern des A m f s wählen würden, 

 so würde das Resultat aus vier reellen Ellipsen bestehen; in anderen Fällen 

 kann es auch zwei reelle Hyperbeln mid zwei imaginäre Ellipsen geben. 



■i. In der reziproken Aufgabe sind drei reelle Punkte a, b, c und 

 zwei reelle Tangenten T, U gegeben, u. z. so, daß die gegebenen Punkte 

 in zwei \on den Tangenten gebildeten Nebenwinkeln liegen (Fig. 7). 

 Die eine Tangente T trennt somit die Punkte (c von a, b), die andere U 

 jedoch trennt sie nicht. Diese Kurve hat einen vierten reellen Punkt d 

 luid zwei weitere reelle Tangenten V, W. Zwei von den gegebenen Punkten 

 fallen immer in einen der \-on T, U gebildeten Winkeln; in Fig. 7 sind 

 es die Punkte a, b. Aus den Elementen a, b, T, U konstruieren wir den 

 Pol p und seine Polare P wie in der Aufgabe '■), ferner (bc, P)^q, 

 (pl-, 'qa)^d und schließlich die Tangenten V, W nach der Aufgabe 1. 

 Das Resultat gibt vier (je zwei konjugierte) Ellipsen wie im Falle .'5. 



5. Die imaginäre Ellipse K kann auch gegeben sein durch eine reelle 

 Tangente T mit ihrem reellen Berührungspunkte a, eine zweite reelle 

 Tangente U und zwei reelle Punkte b, c, welche in zwei von den Tangenten 

 gebildeten Nebenwinkeln liegen (Fig. 8). Diese Kurve hat eine weitere 

 reelle Tangente V (die vierte W ^T, und der vierte reelle Punkt d^a). 



Konstruktion. Die Punkte a, b, c, d bestimmen einen Kegelschnitt- 



