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büichel, dessen Poldreieck einen Scheitel im Schnittpunkte (ad=^T, 

 öc)^p hat; che ihm entsprechende Polare P geht durch den Punkt 

 (f a, b d) ^ a, imd trennt die Punkte b, c, p harmonisch. Konstruieren 

 wir also (b c p p') = — 1 und verbinden a p' ^P. Die beiden Ecken 

 des Poldreiecks ^ a^ d und seine Seiten ^ T. Im involutorischen Felde 

 IpP) erhalten wir die Tangente V als homologe Gerade zur gegebenen U; 

 sie verbindet {UP)^m mit dem zu {a c, U) ^ e homologen Punkte 

 e' ^ (p c, ab). Die Elemente a, b, c, d, U bestimmen zwei konjugiert- 



imaginäre Ellipsen. — Für die 

 Lösung der nächsten Aufgabe ist 

 noch beizufügen, daß für die Ge- 

 rade ^î= 5 gilt {UVPS)=~l. 

 C. Die imaginäre Ellipse K 

 sei gegeben durch eine reelle 

 Tangente T mit ihrem reellen 

 Berührungspunkte a, zwei weitere 

 reelle Tangenten U, V (Fig. 8) 

 und einen reellen Punkt b, welcher 

 mit a in zwei von den Tangenten, 

 etwa U, V gebildeten Neben- 

 winkeln liegt. Diese Kurve A" 

 hat einen dritten reellen Punkt c 

 (während der vierte d ^ a und 

 die vierte Tangente W^T). Be- 

 zeichnen wir {UV)'^m, verbin- 

 den ain^P, und ziehen durch 

 m die Gerade S so, daß {U V P S) = — 1. Der Polare P entspricht der 

 reelle Pol p^{TS). In der Involution (p P) konstruieren wir den zu b 

 homologen Punkt c wie folgt: {V, ab) ^ e , {U, p e') ^ c, {a e, p b) ^ c. 

 Andere Fälle mit reeller Tangente und reellem Berührungspunkte 

 gibt es nicht; denn wären außer T, a noch weitere drei reelle Punkte b, c, f 

 (oder Tangenten U, V, F) gegeben, so hätte die Kur\-e fünf reelle Punkte 

 a, b, c, /, d^a (resp. Tangenten T, U, V, F, W ^ T) und wäre sonach 

 ganz reell. 



Zusatz 1. Der imaginäre Kreis mit imaginärem Mittelpunkte kann 

 durch zwei reelle Punkte gehen und zwei reelle Gerade berühren, wenn 

 \on ihm gegeben sind: 



a) zwei reelle Punkte a, b und eine reelle Tangente T, welche die 

 Punkte trennt (Fig. 9). Der imaginäre Kreismittelpunkt liegt auf der 

 reellen Symmetrale der Strecke ab; ist der einzige reelle Durchmesser 

 des Kreises K . a, b sind die Grundpunkte eines Kreisbüschels, welcher 

 aus T eine elliptische Involution 11', 22' ausschneidet, deren imaginäre 

 Doppelpunkte x, y die Berührungspunkte von zwei konjugiert-imaginären 

 Kreisen {a b x) ^ K, (ab y) ^ K' liefern. Die beiden Kreise haben noch 



Fig. 8. 



