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eine zweite gemeinsame reelle Tangente U, welche zu T in Bezug i\\\i 

 die Achse symmetrisch liegt. 



ß) Wenn der Kreis durch zwei reelle Tangenten T, U und einen 

 reellen Punkt a gegeben ist (Fig. 10), so gestaltet sich das Resultat anders. 

 Die Tangenten bestimmen eine Kreisschar, deren Mittelpunkte die beiden 

 Symmetralen der Winkel {T U) erfüllen. Der gegebene Punkt a liegt mit 

 einer Symmetrale, z. B. in demselben Wmkel; und diese Elemente be- 

 stimmen zwei reelle Kreise L, L' , welche der Aufgabe genügen. Beide 

 gehen auch durch den zu a in Bezug auf die Achse symmetrischen Punkt b. 

 Die zweite Achse S gibt jedoch zwe i konjugiert-imaginäre Kreise K, K' , 

 welche einen weiteren reellen Punkt c enthalten, der symmetrisch liegt 

 zu a nach 5. 



Zusatz 2. Im vorstehenden haben wir nur solche Fälle näher imter- 

 sucht, wo die imaginäre Ellipse durch reelle Elemente gegeben war; es ist 



l'lL'. 9. 



t'vj. 1(1. 



selbstverständlich, daß man die Reihe dieser Aufgaben bedeutend ver- 

 mehren könnte, wenn man einzelne reelle Elemente durch imaginäre 

 ersetzen würde. — 



Außerdem ist noch folgende Reziprozität bemerkenswert: sowie 

 in der Theorie der reellen Kegelschnitte nur konjugiert-imaginäre Punkte 

 und Tangenten, also immer mu" in gerader Zahl auftreten, ebenso er- 

 hielten wir in allen sub L a, b, c untersuchten Fällen zwei oder vier imaginäre, 

 paarweise konjugierte Kegelschnitte. Und in ähnlicher Weise, als durch 

 einen imaginären Punkt eine einzige reelle Gerade geht (nach dem kon- 

 jugiert-imaginären Punkti) mid jede imaginäre Gerade einen reellen Punkt 

 enthält (den Schnittpunkt mit der konjugiert-imaginären Geraden), so 

 enthält unsere imaginäre Ellipse ad L, c, 1. vier reelle Punkte, nämlich 

 die Schnittpunkte mit der konjugiert-imaginären Ellipse, und diese beiden 

 Kurven haben auch vier reelle gemeinsame Tangenten. Natürlich setzen 

 wir voraus, daß alle diese Gebilde in einer reellen Ebene liegin. 



II. Imaginäre Hyperbeln. 



Von diesen Kegelschnitten sind zunächst \ier Arten bemerkenswert: 

 1. Es sei eine reelle Asymptote U gegeben (Fig. 11), der ziveite un- 

 endlich ferne reelle Punkt b^. in der Richtung 5, imd außerdem: 



