336 



Es sei nun eine imaginäre Hyperbel gegeben durch eine reelle Asymp- 

 tote U (Fig. 12), den zweiten reellen Punkt im Unendlichen b^ in der 

 Richtung S, einen reellen Punkt a im Endlichen und eine reelle Tan- 

 gente T, u. z. so, daß die Punkte a, b^^ in zwei von T. U gebildeten 

 Nebenwinkeln liegen. Diese imaginäre Kurve hat noch eine reelle Tan- 

 gente V. Die Gerade ab^a W S gibt auf U (wie oben) den Pol p; seine Polare 

 P Ij U geht durch den Pimkt p' , dessen cTp' = — "ap, weil {a b^^ p p'] = — 1. 



^^. 



Fis. 12. 



Die Tangente V erhalten wir mm als zu T homologe Gerade in der In- 

 volution ipP); (TP)^ni, fg' = — p g, m g' ^ V. Die Lösung gibt 

 zwei konjugiert-imaginäre Hyperbeln, welche die reellen Punkte a. b^^ , 

 c ^d^ , und die reellen Tangenten T, V, U ±-:i W gemein haben. Ihre 

 imaginären Berührungspunkte auf T sind die Doppelpvmkte in der ellipti- 

 schen Involution, von welcher o der Mittelpunkt, g go ein Punktepaar 

 und die Potenz o g . o g^ negativ ist. Die zweite Asymptote ist imaginär. 

 ß) Von einer imaginären Hyperbel sei eine reelle Asymptote U, 

 der zweite reelle unendlich ferne Punkt Z;^ in der Richtung 5 (Fig. 12) 

 rmd zwei reelle Tangenten T, V gegeben. Diese Hyperbel hat, auch wenn 

 sie imaginär wird (außer b^^ , c^d^ auf U), noch einen vierten reellen 

 Punkt im Endlichen a. Konstruktion. Bezeichnen wir {T V) ^ g, 

 {UV)^g', {TV)^m. Dem Pole p, welcher g g' halbiert, entspricht 

 die reelle Polare mP \\ U. Im involutorischen Felde {p P) liegt der zu b„ 

 homologe Punkt a auf dem Strahle p b^ II 5, welcher P in p' trifft; und 

 weil {a b^^ p p') = — ^ 1 . so halbiert der Punkt a die Strecke p p'. Der 

 Aufgabe genügen zwei Hyperbeln, wie vorhin; damit dieselben jedoch 

 imaginär werden, muß der Mittelpunkt der Involution auf T, o ^^ {T, a b^^), 

 in die endliche Strecke g g^ fallen, und dies geschieht dann, wenn die 



