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Punkte b^j.^ und p in demselben Winkel T V liegen. Nachdem also dii,- 

 Tangenten U , T, V gegeben sind, muß die Richtung 5 &-^ so gewählt 

 werden, daß der Strahl m b^ die endliche Strecke g g' schneidet. 



2. Die imaginäre Hyperbel kann eine reelle Asymptote haben, 

 während die andere samt dem unendlich fernen Punkte imaginär sein 

 kann. Dann sind zwei Fälle möglich: entweder ist die Kurve noch durch 

 zwei weitere reelle Punkte und eine reelle Tangente gegeben oder um- 

 gekehrt. 



a) Es seien die reelle Asymptote U^c^ d^ (Fig. 13), zwei reelle 

 Punkte a, b im Endlichen, und eine reelle Tangente T gegeben. Diese 



Aufgabe unterscheidet sich 

 \-on der 1. a) nur dadiu'ch, 

 daß der Punkt h im Endlichen 

 gegeben ist. Damit die Hyper- 

 bel imaginär wird, wählen wir 

 die Punkte a, b so, daß sie in 

 zwei \-on T. U gebildeten 

 Nebenwinkeln liegen. Diese 

 imaginäre Hyperbel hat noch 

 eine dritte reelle Tangente V, 

 während die vierte IT ^ U. 

 Der Schnittpunkt (öl, U) = p, 

 gibt einen Pol, dessen Po- 

 lare P II U durch den nach 

 (a b p p') = — 1 konstruierten 

 Punkt p' geht. Im involutorischen Felde {p P) erhalten wir die zu T 

 homologe Tangente V also: (TP) hs m, {T U) ^^-g, p g' = gp, m g' e^ V. 

 Die Elemente [abcclT] bestimmen zwei konjugiert-imaginäre Hyperbeln. 

 ß) \A'enn umgekehrt U, ein reeller Punkt a (Fig. 13) und zwei reelle 

 Tangenten T, V gegeben sind, erhalten wir leicht den vierten reellen 

 Punkt b. Die Hyperbel wird sicher imaginär, wenn wir den Punkt a im 

 Innern des A 7" f F ^ A iii g g' wählen. Der Punkt p, welcher die 

 Strecke g g' halbiert, ist der Pol zur Polare mP \\U; ap schneidet P im 

 Punkte p' , und die Konstruktion {p p' ab) = — ^1 gibt den Punkt b. 

 Das Resultat besteht wieder aus zwei Kurven. 



3. Von einer imaginären Hyperbel seien die beiden reellen unendlich 

 fernen Punkte c^ , d^ in den Richtungen C, D (Fig. 14) gegeben, aber 

 mit imaginären Asymptoten, imd außerdem: 



a) zwei reelle Punkte a, b im Endlichen und eine reelle Tangente T. 

 Die Punkte (a c.j- , b a^) ^^ p, [a (?-,. , b C-j. ) ^ q, {a b, c^ d^) ^^r^ sind 

 die Ecken des Poldreiecks im Kegelschnittbüschel (abc^d.j^), und 

 (j P \\ a b, p Q \\ ah, p q^R die entsprechenden Polaren. Da die Polare R 

 dem imendlich fernen Pole r^^ entspricht, ist R in diesem Falle ein reellev 



Bulletin intcmation.il. XVII. -- 



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