341 



imaginäre Hyperbeln haben die reellen Tangenten T, U, V, W und die 

 reellen Punkte a', b', c.j^ , d^ gemein, von welchen a', b' analog im Felde 

 (?' Q) gefunden werden, wie vorhin a, h. 



Damit diese vier Hyperbeln imaginär werden, müssen die Tan- 

 genten r, U , V so gewählt werden, daß eine \-on ihnen, z. B. V mit den 

 anderen T, U die Punkte c^ , d.^_ trennt. 



4. Die imaginäre Hyperbel kann endlich auch nur einen reellen 

 Punkt im Unendlichen haben, rf,^ , während der zweite und beide Asymp- 

 toten imaginär sind. Hier sind vier Fälle möglich: die gegebenen Elemente 

 können sein: a) a, b, c, d^, T; ß) a, b, d^, T, U; y) a, d^, T, U, V; 

 8) d^ , T, U, V, W. Die Aufgaben über die Konstruktion der übrigen 

 drei reellen Elemente werden ganz analog zu denen über imaginäre Ellipsen 

 gelöst nach Absatz I. c, 1. — ^4. 



Zusatz. Wenn beide Asymptoten reell sind, so ist durch einen weiteren 

 reellen Pimkt oder reelle Tangente immer nur eine reelle Hyperbel be- 

 stimmt. Eine imaginäre Hyperbel mit reellen Asymptoten konnte sonach 

 nur durch einen imaginäi'en Punkt (einen von den Doppelpunkten einer 

 elliptischen Punktinvolution), oder eine imaginäre Tangente (einen von 

 den Doppelstrahlen einer elliptischen Strahleninvolution) gegeben sein. 



III. Imaginäre Parabeln. 



Die imaginäre Parabel hat eine reelle Tangente (Asymptote) U^ 

 im Unendlichen; nach der Art des Berührungspunktes (des unendlich 

 fernen Scheitels der' Kurve) unterscheiden wir zwei Arten von diesem 

 Kegelschnitte : 



1. Der unendlich ferne Punkt der Parabel sei imaginär; dann sind 

 vier Fälle möglich: 



a) Die imaginäre Parabel ist durch \\ev reelle Punkte a, b, c, d ge- 

 geben. Damit die Kurve imaginär wird, darf das Viereck ab cd nicht 

 konvex sein; wählen wir z. B. den Punkt c im Innern des A a b d (Fig. 17). 

 Diese Parabel hat drei reelle Tangenten T, V, W im Endlichen. 



Konstruktion. Zeichnen wir das Poldreieck p qr ^ P Q R des Kegel- 

 schnittbüschels [ab cd), und im involutorischen Felde {p P) die zur un- 

 endlich fernen Geraden Uy. homologe Tangente T. Diese geht durch den 

 unendlich fernen Schnittpunkt (P U^), also T \\P. Dem unendlich fernen 

 Punkte m'^ ^ [Q U^) entspricht der homologe Punkt m auf Q, welcher 

 die Strecke pr halbiert, weil (pr mm'y^) = — 1; wir ziehen daher durch 

 niT II P. Analog erhalten wir die zu U^ in der Involution {q Q) homologe 

 Tangente vV\\Q{pv = vq) und die Tangente n W \\ R (q n = n r) , welche 

 homolog liegt zu U^ im Felde (rP). Aus der Konstruktion folgt: 



Die durch vier reelle Punkte a, b, c, d bestimmte imaginäre Parabel 

 hat drei reelle Tangenten im Endlichen; jede von ihnen hälftet zwei Seiten 

 des dem vollständigen Vierecke ab c d entsprechenden Diagonaldreiecks p q r. 



