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c, il und eine dritte reelle Tangente IT (die vierte ist U^). Damit die 

 Kur\e imaginär wird, wählen wir eine Tangente V so, daß sie die Punkte 

 (/, b trennt (Fig. 19). Der Pol /> und seine Polare P werden aus den Ele- 



menten n, b, T, U,^ konstruiert wie im Fa 



Ferner ist jedoch anstatt 



des Punktes c die Tangente V gegeben; di(^se schneidet T, P in den Punkten 

 m, V, und die Gerade pm r R schneidet P im Punkte q. Die gesuchte 

 Tangente v T'F || R. Weiter ist p nr ^Q \\V, qU = v7-, und die weiteren 

 Punkte der Parabel [a r, q b) ^ c, {a q, r b) ^ d; die Punkte p, c, d liegen 

 in einer Geraden. Diese Elemente bestimmen zwei, der Pol p' mit der 

 Polare P' analog weitere zwei konjugiert-imaginäre Parabeln. 



'2. Die imaginäre Parabel sei durcli ihren reellen unendlich lernen 

 Punkt i=d.j. (in der Richtung .S, Fig. 20) gegeben und außerdem: 



y.) durch zwei reelli- Punkte a, b und eine reelle Tangente T, welche 

 die Punkte a, b treuul. Diese Kur\-e liat eine weitere reelle Tangente im 



^yjü. 



ICntUii heu r, Konstruktion. Die Kurse i^t im Kegelschnittbüschel [a b c d) 

 enthalten (welcher aus lauter Parabeln bc-steht), dessen Poldreieck eine 

 Ecke {ab, cd)^py. im unendlich fernen Punkte der Geraden öT hat, 

 während die beiden übrigen ^^ c s; rf^^ . Die entsprechende Polare P geht 

 durch d.j.^ und den Mittelpunkt p' der Strecke a b, weil {a b p' p^.) = — ■ 1; 

 machen wir also a p' = p' b und ziehen />' P \\ S. Die Polare P ist in diesem 

 P'alle ein reeller Durchmesser der imaginären Parabel, widcher zur Sehne 'ab 

 konjugiert ist, denmach di(" Kiu'vi- in klinogoualsynunetrische Teile nach 

 der Achse 7' und der Richtung a b teilt. Zur Tangente T erhalten wir nun 

 die homologe Tangente V also: {TP) :^ in, {T, â~F) ^ c, p' c' = c p' , m e'^V. 

 Die 3. und 4. reelle Tangente W ^ U^ fallen mit der unendlich fernen 

 Geraden zusammen. Der Parabelbüschel schneidet 7' in einer In\olution, 

 deren Mittelpunkt e und ein Punktepaar /, /' ist, ihre imaginären Doppel- 

 punkte sind die Btuübrungspunkte auf T von zwei konjugiert-hnaginären 

 di'r Aufgäbe genügenden Parabeln. 



ß) Die imaginäre Parabel sei durch ihren reellen unendlich fernen 

 Punkt (c ^ dy, auf 5), zwei reelle Tangenten T, T' und einen reellen Punkt a 



gegeben (Fig. 20), welcher mit d^ nicht in demselben Winkel TV liegt. 



