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Imaginäre Kegelflächen II. Ordnung ganz anderer Art sind diejenigen, 

 durch welche unsere, sub I. — III. untersuchte imaginären Kegelschnitte 

 aus einem beliebigen Punkte s im Räume projiziert werden. Diese Kegel 

 können vier reelle Mantellinien (mit imag. Tangentialebenen) und vier 

 reelle Berührungsebenen haben (deren Berührungslinien i. A. imaginär 

 sind). Die Konstruktionen und Eigenschaften dieser Flächen aus ver- 

 schiedenen reellen Elementen folgen unmittelbar aus I. — III., wenn man 

 die Fläche durch eine reelle Ebene schneidet (welche s nicht enthält), 

 und ist es daher unnötig, näher auf dieselben einzugchen. Wenn wir das 

 Projektionszentruni s ins Unendliche verlegen (durch eine bestimmte 

 Richtung S), so erhalten wir imaginäre Zylinder flächen II. Ordnung mit 

 analogen Eigenschaften. 



Aber auch der Mittelpunkt s kann iuiaginär sein; aus ihm wird 

 z. B. eine reelle nicht abwickelbare Fläche II. Ordmmg ç- diuch einen 

 imaginären (Berührungs-) Kegel /.'- projiziert, welcher nur zwei reelle 

 Berührungsebenen a, ß haben kann. Denn durch jeden imaginären Punkt 

 im Ramne s geht eine einzige reelle Gerade 0, welche nämlicli s mit dem 

 konjugiert-imaginären Punkte s' verbindet, mid durch kann man zwei 

 Berührungsebenen an die Fläche 9- legen, welche unter bekannten Be- 

 dingungen reell sind. Ist eine Tangente von ç-, so hat auch der Kegel x- 

 eine einzige reelle Berührungsebene a ^ ß und ist zugleich die Berührungs- 

 gerade reell. Geht aber durch keine reelle Berührungsebene an die 

 Fläche 9-, so hat auch v.- keine reelle Berühruugsebene und keine reelle 

 Mantellinie. Der imaginäre Mittelpunkt s kann als einer (in bestimmtem 

 Sinne) \-on den imaginären Doppelpunkten einer auf gegebenen ellipti- 

 schen Punktinvolution gegeben sein. 



V. Imaginäre nicht abwickelbare Flächen 

 II. Ordnung. 



Auch von diesen Flächen ist nur die Theorie einer einzigen bekannt, 

 welche nämlich definiert wird als Directrix eines polaren Raumes, in 

 welchem kein reeller Pol mit seiner Polarebene Inzident ist, imd dies 

 ist dann der Fall, wenn keine Polarebene ihren Pol vom Mittelpunkte 

 des Polarsystems trennt. Diese Fläche hat drei reelle (der Lage nach) 

 Achsen (mit den Längen 2 1«, 2ib, '2ic^), dagegen keinen reellen Punkt 

 und keine reelle Berührungsebene. 



Es gibt jedoch noch andere Arten von imaginären Flächen II. Ordnung, 

 welche im Gegenteil keinen reellen Mittelpunkt haben, deren Achsen auch 

 der Lage nach imaginär sind, dagegen aber durch reelle Punkte gehen, 

 reelle Ebenen berühren, sogar auch ganze reelle Kurven enthalten. Ein 



Die Gleichung der Fläche ist «-- x- + ft— - y- + c— - ^- 4- 1 



