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Beispie] da\'on sei die durch acht nicht assoziierte Punkte^) und eine reelle 

 Tangente T gegebene Fläche (f. Durch acht solche Punkte kann man 

 eine Raumkur\'e IV. Ordnung „erster Art" Z,* legen, welche die Fläche ç- 

 enthalten wird. Wir erhalten dieselbe als Durchdringung zweier beliebiger 

 Flächen II. Ordnung «"', ß-, welche durch Z.* gelegt werden. Der Flächen- 

 büschel (a- ß-) schneidet die gegebene Gerade T in einer Punktinvolution I, 

 deren Doppelpunkte die Berührungspunkte auf T geben, von denen jeder, 

 wenn sie reell sind, mit den acht gegebenen Punkten je eine der Aufgabe 



^) Durch sieben im Räume gegebene Punkte kann man bekanntlich i. A. ,y/ 

 biquadratische Raumkurven erster Art I^ legen, welche durch einen bestimmten 

 achten, zu den sieben ,, assoziierten" Punkt gehen. Außer dieser Bedingung, daß 

 die gegebenen acht Punkte nicht assoziiert sind, sollen auch keine sieben von ihnen 

 auf einer kubischen Raumkurve, keine fünf in einer Ebene und keine drei auf einer 

 Geraden liegen, da sonst die Kurve U degenerieren würde. — 



Durch acht reelle Punkte und eine reelle Berührungsebene r ist mindestens 

 eine reelle quadratische Fläche qp^ bestimmt, und außerdem zwei eventuell imaginäre. 

 Schneidet die Ebene t die Kurve IJ in vier reellen Punkten a. b, c. d. so schneidet 

 sie der Flächenbüschel mit der Grundkurve L* im Kegelschnittbüschel [a bed) 

 niit einem reellen Poldreieck pqr. Die degenerierten Kegelschnitte (ab, cd), (ac. 

 h d), [a d.b c) bestimmen mit der Kurve L'drei reelle windschiefe Flächen II. Ordnung, 

 welche die Ebene x in den Punkten p, q. r berühren. Wenn jedoch die Punkte a, b 

 reell, c, d konjugiert-imaginär sind, dann sind die Verbindungsgeraden ab, c d reell, 

 die übrigen jedoch imaginär; das Poldreieck pqr hat nur die Ecke (a b. cd) = p 

 und die Gegenseite (der Lage nach) reell, während die Ecken q, r imaginär .sind, L* 

 bestimmt daher mit der Ebene t eine reelle windschiefe Fläche, welche von der Ebene 

 T in zwei reellen Geraden ab, cd geschnitten und im Punkte p berührt wird, während 

 die beiden übrigen Flächen imaginär sind. Sind endlich alle vier Schnittpunkte 

 (r L*) imaginär, so sind dennoch die Verbindungsgeraden von je zwei konjugierten 

 Punkten, z. B. a b. c d reell, somit auch der Pol p = [ab, c d) reell. Aber auch die 

 übrigen Pole q. r sind reell, jeder als Schnittpunkt von zwei konjugiert-imaginären 

 Geraden: q = (a c, b d), r = [a d, bc). In diesem Falle ist also (wie im ersten) das 

 Poldreieck pqr ganz reell, der Aufgabe genügen wieder drei reelle Flächen II, Ord- 

 nung, von welchen die eine windschief ist, die Ebene t im Punkte p berührt und 

 in den Geraden ab, cd schneidet, die beiden übrigen aber, mit den Berührungs- 

 punkten q, r. nicht geradlinig sind. 



Acht reelle Punkte und eine reelle Berührungsebene bestimmen also i. A. 

 drei quadratische Flächen, von denen mindestens eine ^windschiefe) reell ist, während 

 die beiden übrigen auch nicht geradlinig, reell oder imaginär sein können, und diese 

 imaginären Flächen enthalten eine reelle Raumkurve IV. Ordnung. 



Eine reziproke Konstruktion löst die Aufgabe, wenn die quadraiiselie Fläche 

 durch einen reellen Punkt und acht reelle Tangentialebenen gegeben tst. Die acht Ebenen 

 bestimmen, wenn sie nicht assoziiert sind, eine abwickelbare Fläche IV. Klasse X*, 

 welche eine Flächenschar umhüllt, und diese enthält auch die gesuchte Fläche qp-. 

 Die Lösung gibt wieder drei Flächen, von denen auch zwei imaginär sein können, 

 und jede von diesen imaginären Flächen besitzt dieselbe reelle ihr umschriebene 

 Fläche IV. Klasse X"" längs einer i. A. imaginären Kurve. Die Fläche X* kann eventuell 

 auch in zwei quadratische Kegel zerfallen, aLso: 



Eine imaginäre Fläche II. Ordnung tp- kann auch zwei reelle Bcrührungskegel 

 haben, mit zwei (reellen o. imag.) gemeinsamen Tangentialebenen; im Falle ihrer 

 Realität sind auch die beiden Berührungspunkte auf qp- reell. 



