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genügcMide Fläche <f- bestimmen. Zwei Punktepaare der In\-olution I 

 erhalten wir in den Schnittpunkten der Flächen a-, ß^ mit der Geraden T. 

 Ist jedoch die Involution / elliptisch, so gibt die Lösung zwei konjugiert- 

 imaginäre Flächen, welche die K\u"ve IJ enthalten, also: 



Eine imaginäre Fläche II. Ordnung kann eine reelle biquadratische 

 Rauuikurvc IV. Ordnung erster Art. oder auch zwei reelle Kegelschnitte 

 enthalten, in welche L* zerfällt und welche sich in zwei reellen oder imagi- 

 nären Punkten x, y schneiden; dieser Full tritt z. B. ein, wenn fünf Punkte 

 \-on den acht gegebenen in einer Ebene liegen. Sind die Schnittpunkte x, v 

 reell, so hat die Fläche ç- in ihnen auch reelle Berührungsebenen. Natürlich 

 können auch (in anderen Fällen) der eine oder beide Kegelschnitte imaginär 

 werden. Andere Degenerationen der Kurve L*, welche auch Gerade ent- 

 halten, führen nur zu reellen (immer windschiefen) Flächen. 



Durch die Kur\-e IJ kann man i. A. vier Kegelflächen II. Ordnung 

 legen, deren Mittelpunkte identisch sind mit den Ecken des einzigen reellen 

 Poltetraeders der Fläche ç-, wenn sie imaginär ist. 9- hat sonach nur vier 

 reelle Pole {p), deren Polarebenen {n) auch reell sind. Jedes dieser vier 

 Systeme (p t.) bestimmt einen perspektiv-involutorischen Raum, in welchem 

 die Fläche cp^ =jch selbst entspricht, so daß man zu jedem reellen Elemente, 

 welches auf tp^ gegeben ist, das homologe, ebenfalls reelle Element, mittels 

 des Zentrums p und der sich selbst entsprechenden Ebene t. leicht kon 

 struieren kann. 



Zusatz. Eine imaginäre Fläche II. Ordnung noch anderer Art kann 

 auch einen reellen Mittelpunkt, reelle (der Lage nach) Achsen und außerdem 

 auch reelle Punkte imd Berührimgsebenen haben; aber die Längen der 

 Achsen haben dann komplexe Werte.i") Eine solche Fläche «p- kann z. B. 

 durch ihre reellen Hauptebenen, zwei reelle Punkte m^, «• (nicht spn 

 metrisch zur Hauptebene) und eine reelle Berührungsebene T^ in bestimmter 

 Lage (welche weiter unten charakterisiert werden wird) gegeben sein. Dann 

 geht die Fläche <p- airch durch alle reelle mit ;«j, n, zu den Hauptebenen 

 imd Hauptachsen symmetrisch hegende Punkte in., . . . nig, «., . . . %, und 

 berührt die reellen symmetrischen Ebenen t, . . . Tj. Sie enthält außerdem 

 ganz die reelle Raumkur\-e IV. Ordnung erster Art L^, welche durch die 

 K; Punkte geht; da jedoch die Punkte m^ . . . nig assoziiert sind, so kon- 

 struieren wir die Kurve Z,' aus den acht Punkten wjj . . . m-,, n^. Die Kurve Z,* 

 ist symmetrisch zu den Hauptebenen \'on ?'- luid wird daher auf dieselbe 

 orthogonal projiziert in Kegelschnitte (resp. in begrenzte Bögen von 

 solchen). Die Lösung gibt drei Flächen; damit zwei von ihnen konjugiert- 

 maginär werden, wählen wir die Tangentialebene tj so, daß sie die Kurve L* 

 in zwei reellen und zwei imaginären Punkten schneidet. Flächen dieser 

 und noch anderer Art näher zu untersuchen bleibt noch weiteren Studien 

 vorbehalten. 



"} Die Gleichung dieser Fläche 'st 



[a + i a)-2 .v2 + (b + i ß)-- y- + (c + i y)-^ ^^ = 1. 



