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\-on zwfi konjiigiert-imaginären Kiigi-ln o- e^ {a bet), Çj- ^ {a b c /'). 

 welche durch die gegebenen Elemente {a b ci) bestimmt sind. Rotiert 

 die Ebene t um die Achse 0, so umhüllt sie, die Kugel stets berührend, 

 einen Rotationskegel X- mit dem Scheitel (t 0) ^ v, welcher die Kugel 

 längs einer imaginären Kreislinie berührt, welche vom Punkte t erzeugt 

 wird. Die imaginären Kugelflächen ç-, 9^^ enthalten sonach v.^ reelle 

 Punkte und reelle Berührungsebenen; diese umhüllen einen Tangential- 

 Rotationskegel X-, jene erfüllen eine Kreislinie A'. Die Gebilde X^, K haben 

 eine gemeinsame Achse 0; die Kreislinie K liegt natürli< h außerhalb des 

 Kegels 12 (Fig. 21). 



Die reziproke Aufgabe; drei reelle Berührungsebenen und ein reeller 

 Punkt, welcher nicht in den Ebenen liegt, gibt acht Lösungen: zwei reelle 

 Kugeln und drei Paar imaginärer Kugeln, von welchen jedes eine reelle 

 Kreislinie und einen reellen Berührungs-Rotationskegel gemeinsam hat. 



2. Von einer imaginären Kugel sind zwei reelle Punkte a, b und 

 zwei reelle Berührungsebenen t, cf gegeben, \-on denen mindestens eine 

 die Punkte a, b trennt. Es seien E, 7] die beiden Symmetralebenen von t, a 

 mid c der mit a zur Ebene 5 symmetrisch liegende Punkt. Die Elemente 

 a, b, e, T bestimmen wie in der Aufgabe 1 zwei imaginäre Kugelflächen, 

 welche die reelle Kreislinie K ^ {a b c) gemein haben; ist die Raumachse 

 des Kreises, so erzeugen die imi rotierenden Ebenen t, a einen Dreh- 

 kegel X-, welcher beide Kugeln längs imaginärer Kreislinien berühren. 

 Die Synuuetralebene •/) gibt analog weitere zwei imaginäre Kugeln. 



3. Die Kugel kann durch vier reelle Tangenten A, B, C, D gegeben 

 sein. Setzen wir voraus, daß drei von ihnen, z B A, B,C in einer Ebene p 

 liegen. Die Tangenten A, B, C umhüllen eine reelle Kreislinie K, welche 

 die Fläche p^ enthalten wird; ihr [Mittelpunkt sei s, der Halbmesser r. 

 Liegt der Schnittpunkt (p Z)) ^ in innerhalb K, so bestimmen die gegebenen 

 Tangenten zwei imaginäre Kugeln, deren imaginäre Mittelpunkte auf der 

 Achse s _L p liegen. Die Berührungspunkte der Kugeln /, t' auf D haben 

 vom Punkte m den Abstand = J wts^ — r^, wo m s < r ist. Legen wir 

 die Ebene {mO) ^s und durch die Tangente D eine Ebene tJ_£; t ist 

 eine reelle Beiührungsebene der Kugeln <p-, Çj-, und umhüllt während der 

 Drehung um die Achse O einen Rotationskegel y?. Auch in diesem Falle 

 haben also die konjugicrt-imaginären Kugeln einen reellen Kreis A' und 

 einen reellen Tangential-Rotationskegel X- gemein. 



4. Es sei noch durch drei reelle Punkte a, b, c eine Kugelfläche tf 

 so zu legen, daß sie eine andere gegebene reelle Kugel t];^ (vom Mittel- 

 punkte 0) berührt. Soll die Kugel 9'^ imaginär werden, so wählen wir 

 den Punkt z. B. a innerhalb, b und c außerhalb der Kugel tl>-. Die Fläche 9- 

 wird die reelle Kreislinie K^^ab c enthalten; der Mittelpunkt von A 

 sei s, die Ebene p, die Achse s _L p. Legen wir durch die Kreislinie A 

 eine Hiliskugelfläche \t? von beliebigem Mittelpunkt auf 0, aber so, daß 

 sich die Flächen tj;^, t*"^ in einer reellen Kreislinie L schneiden, deren Ebene o 



