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eine Chordale \on di- und [a- ist. Die Chordalebenen von drei Kugeln ij;'', 

 [x-, ç- schneiden sich in einer Geraden S; wir erhalten dieselbe als Schnitt- 

 linie der Ebenen oa^S, welche die Schnittpunkte iii, n der Kreis- 

 linien K und L enthalten wird. Die Chordalebene der Kugeln cp''^, ({;'- wird 

 ihre gemeinsame Tangentialebene t im Berührungspunkte t sein; und 

 da T die Gerade S enthalten muß, so legen wir durch 5 die beiden Be- 

 rührungsebenen T, t' an die Fläche <!^'^. Weil jedoch in unserem Falle die 

 Gerade S die Kugel i|;^ in zwei reellen Punkten m, n schneidet, so sind 

 die Ebenen t, t' imaginär. Es sind die Doppelebenen der elliptischen 

 Invohrtion von harmonischen Polarebenen auf dem Träger S, welche die 

 Kugel <\i- auf 5 erzeugt. Die Berührungspunkte t, t' sind in den Schnitt- 

 punkten der Ebenen t, t' mit den imaginären Geraden otJ_-:, o t' ±_-:' , 

 und die Schnittpunkte {o t, 0), {of, 0) sind die imaginären Mittelpunkte 

 der imaginären Kugeln (ab et), (ab et'), welche der Aufgabe genügen; 

 beide haben den reellen Kreis K gemein. 



Zusatz. In diesen vier Aufgaben über die imaginäre Kugel tp- zerfällt 

 die biquadratische Kurve L*, welche ç- enthält, in zwei Kreise, von denen 

 nur einer reell ist, und die entwickelbare Hüllfläche X* in zwei Rotations- 

 kegel, \on welchen auch nur der eine reell sein kann. Denn durch zwei 

 Kreise, welche in verschiedenen Ebenen liegen imd entweder die Raum- 

 achse, oder allgemeiner zwei (reelle o. imag.) Punkte gemein haben, kann 

 man allemal eine reelle Kugelfläche legen, und wenn die Bedingung nicht 

 erfüllt ist, dann geht durch die Kreise keine, weder reelle noch imaginäre 

 Kugelfläche. Und dual: in zwei reelle Rotationskegel von verschiedenen 

 ^Mittelpunkten, welche entweder die Rotationsachse oder zwei (reelle 

 o. imag.) Berührungsebenen gemein haben, kann allemal eine reelle Kugel 

 eingeschrieben werden; in anderen Fällen jedoch ist auch eine imaginäre 

 Berührungskugel unmöglich. 



