PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 177 
variable, et ïl a trouvé pour ces fonctions des propriétés analogues 
à celles des fonctions logarithmiques et elliptiques. 
Une fonction dont la dérivée est rationnelle a, comme on 
le sait, {a propriété qu’on peut exprimer la somme d’un nombre 
quelconque de semblables fonctions par une fonction algébrique 
et logarithmique, quelles que soient d’ailleurs les variables de 
ces fonctions. De même une fonction elliptique quelconque, 
c'est-à-dire une fonction dont la dérivée ne contient d'autres 
irrationnalités qu'un radical du second degré, sous lequel la va- 
riable ne passe pas le quatrième degré, aura encore la propriété 
qu'on peut exprimer une somme quelconque de semblables fonc- 
tions par une fonction algébrique et logarithmique, pourvu qu'on 
établisse entre les variables de ces fonctions une certaine relation 
algébrique. Cette analogie entre les propriétés de ,ces fonctions a 
conduit l'auteur à chercher s'il ne serait pas possible de trouver 
des propriétés analogues de fonctions plus générales, et il est 
parvenu au théorème suivant : 
«Si lon a plusieurs fonctions dont les dérivées peuvent être 
«racines d'une méme équation algébrique, dont tous les coeffi- 
«cients sont des fonctions rationnelles d'une même variable, on 
“peut toujours exprimer la somme d'un nombre quelconque de 
«semblables fonctions par une fonction alvébrique et logarith- 
«mique, pourvu qu'on établisse entre les variables des fonctions 
“en question un certain nombre de relations algebriques.» 
Le nombre de ces relations ne dépend nullement du nombre 
des fonctions, mais seulement de la nature des fonctions particu- 
lières qu'on considère: Ainsi, par exemple, pour une fonction 
elliptique ce nombre est 1; pour une fonction dont la dérivée ne 
contient d’autres irrationnalités qu'un radical du second degré, 
sous lequel la variable ne passe pas le cinquième ou sixième 
degré, le nombre des relations nécessaires est 2, et ainsi de 
suite. 
Le même théorème subsiste encore lorsqu'on suppose les fonc- 
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