entre les longueurs /, /' des deux courbes. En effet , si nous prenons 

 pour courbe donnée la 2.""= courbe l', nous auront pareillement 



(2)... li = r« — ijt' [^■i-i'''^-^"-^.. —y — / — y" — efc); 



Egalant les deux valeurs ci-dessus de iî, on trouve 



(3)... ; — r = «(? + / -+-?"-»-.. —i/' — '/.' —r —■••)• 



Cette formule pourrait servir à calculer la différence de lon- 

 gueur des deux lignes de rails d'une même voie ferrée ; car il 

 suffirait pour cela de mesurer sur le plan les angles y , y', y". . . 

 r r ' r " 



?. y . y 



Si la courbe donnée est fermée , sans présenter de points singu- 

 liers fig. 2, on aura 



•^ -♦- i|. '-+->/."•+•. . =0 



y -+- y -+- 'j* -♦- . . ^= 2 7r 



et par suite 



(4)... ? — /' = 2 TT «. 



D'où il suit qu'««e courbe fermée quelconque , sans points sin- 

 guliers, surpasse en longueur son équidistante , d'une quantité 

 égale au double de la circonférence qui aurait pour diamètre 

 la distance des deux courbes. 



