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Principaux énonces. 
# Le rapport entre deux quantités À, B, de même espèce , égale 
le rapport A’ : B’ de leurs nombres, finis comme elles-mêmes 
quand on les rapporte à l'unité usuelle L. 
Le même rapport de À à B égale le rapport a : à de leurs 
nombres infinis, quand on mesure les deux lignes À, B avec la 
petite base à. 
Enfin , le même rapport À à B égale le rapport A”: B/ de leurs 
nombres finis, quand on compose À , B, en une nouvelle unité 1e 
finie. 
Ces relations ont toute la généralité possible , soit que les deux 
termes À, B, soient commensurables entre eux , ou qu'ils soient 
incommensurables entre eux. 
Dans le dernier cas, les deux nombres finis À’ B’ sont aussi 
incommensurables entre eux, et il en est de même des deux 
nombres finis A/. B/, et aussi des deux nombres infinis a, b. 
N.o 5. Nous pouvons apprécier l'influence des opérations ma- 
térielles sur nos idées numériques. Les plus simples de ces opé- 
rations ont concouru à la conception des premiers nombres, 
d’abord les entiers, ensuite les fractions ordinaires. Des opérations 
manuelles plus délicates nous ont procuré des résultats doués 
d'une plus grande exactitude , mais toujours relatifs aux quantités 
ordinaires entières ou fractionnaires, les seules qui soient utiles 
aux rélations sociales habituelles, qui ne connaissent ni ne com- 
portent les quantités incommensurables ou irrationnelles. 
La génération de ces dernières idées , plus abstraites encore, 
est due au raisonnement. Lui seul peut offrir et exiger la série 
indéfinie d'opérations purement intellectuelles dont le but est un 
nombre ou un rapport incommensurable. 
Ces notions n’ont été méconnues , obscurcies et faussées que 
par suite de la prétention, si commune et si déraisonnable chez 
les auteurs , de supprimer dans les préliminaires une foule d'in- 
termédiaires et de connaissances claires et utiles. 
