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et n'en a qu'une seule de celle valeur : le premier cas, au con- 

 traire, arrive toutes les fois que l'équation u'a aucune racine 

 susceptible de l'expression indiquée. 



Non seulement cette propriété des équations numériques , 

 propriété exclusivement inliérente à la réduction de leurs racines 

 réelles en fractions continues , est tout-à-fait suffisante , ainsi 

 qu'on peut le voir, pour conduire à la séparation de ces racines, 

 comme naturellement, c'est-à-dire sans que l'on soit obligé de 

 déterminer à ^ribrileur quotité ou de leur assigner des limites (*), 

 et pourvu seulement qu'aim de s'épargner nne infinité d'essais 



inutiles, on se laisse diriger dans le choix des nombres a, b, c 



par le théorème de M. Bddan (**) ; mais en outre la même propriété 



(*) Qui ne connaît aujourd'hui le beau théorème découvert par M. Sturm 

 sur les limites des racines?. . . . Bien que la méthode de résolution proposée 

 dans ce qui va suivre en soit absolument indépendante, loule complète et rigou- 

 reuse qu'elle nous paraisse, le théorème de M. Sturm n'en est pas moins d'une 

 extrême importance à nos yeux , pour la facilité avec laquelle il permet de 

 reconnaître à priori le nombre et les limites des racines réelles ; et sous ce 

 rapport il offrira toujours un puissant auxiliaire à toutes les méthodes de réso- 

 lution , qucl<(ues avantages qu'elles puissent d'ailleurs présenter. 11 ne faut pas 

 perdre de vue , au surplus, que l'emploi du procédé de M. Sturm se trouve tout 

 préparé par les opérations nécessaires à la séparation préalable des racines 

 égales. 



(**) Ce théorème peut être énoncé comme il suit : 



Si, dans une équation en x que nous représenterons parf (x) =r o, on fait 

 alternativement x z= p -j- x', x n: q -4-x", p et q étant deux nombres réels 

 de signes quelconques , et tels que l'on ait p <q [^c'est- à-dire que p soit le 

 plus rapproché de l'infini négatif, et q le plus rapproché de l'infini positif] : — 

 I." La transformée en x' r= x — p ne peut ai-oir moins de variations que 

 la transformée en x" =x— q; — a." le nombre des racines réelles de 

 l'équation f (x) = o, comprises entre p e< q, ne peut jamais surpasser celui 

 des variations perdues dans le passage de la transformée en {x — p) à la 

 transformée en (x — q) ; — 3." quand il en est surpassé, il l'est toujours 

 d'un nombre pair. — [^Dans le cas particulier où l'un des nombres p, q, serait 



