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 fournit un caractère au moyen duquel on peut reconnaître d'une 

 manière certaine quand cette «éparation est complètement cfFec- 

 tuée. Pour ces deux raisons, j'ai pensé qu'il ne serait pas sans 

 intérêt de reprendre ici la proposition énoncée, et de faire voir 

 comment elle peut se déduire de la théorie des fonctions dérivées, 

 indépendamment de Valgorithme particulier sur lequel reposait 

 sa première démonstration. 



Ensuite, m'appuyant sur la propriété citée et profitant des 

 travaux de M. Budan et de ceux de Fourrier, j'indiquerai, pour 



nul, la transformée correspondante devrait être remplacée par la proposée 

 elle-même]. 



Fourrier, qui était parvenu de son côté au même théorème , et qui en a 

 donné dans son Jnafyse des équations, ouvTage publié après sa mort par 

 M. Navier, une démonstration différente de celle de M. Budan , l'énonce 

 d'une autre manière gui revient à-peu-près à la suivante : 



Si dans la suite des (m^i) fonctions f(x),£'(x),r(x)... . f(».) (x) 

 on substitue alternativement deucc nombres réels quelconques p q [p étant 

 < q] , ei que l'on représente par P, Q, ^e. deucc suites de nombres résultant 

 respectivement de ces substitutions ; _ i.o la suite P ne peut présenter 

 moins de variations que la suite Q ; _ ..o i, „<,^j,, ^^^ ^^^.^^^ ^^^^^^^ ^^ 

 l équation f (x) = o , comprises entre p e, q, „e peut jamais surpasser celui 

 des^armtwns perdues dans le passage de l'hypothèse x = f à l'hypothèse 

 X _ q ; _ 3.0 quand il en est surpassé, il l'est toujours d'un nombre pair 



Pour l'historique de ce théorème, ainsi que pour l'examen des avantages 

 qu'il présente dans les applications et des points de vue sous lesquels il pouvait 

 laisser quelque chose à désirer, nous renverrons aux Leçons d'M^èbre de 

 M. Leferure de Fourcy. 



Il estsurprenant queFo^RRiKR n'ait pas cherché, dans son ouvrage, à démon- 

 trer la proposition qui fait l'objet principal du présent mémoire , et qui seule 

 à ce qu'il nous semble, pouvait donner à sa méthode tout le degré de rigueur ei 

 de précision dont elle était susceptible. Il a bien, à la vérité, dans les Mémoires 

 de l Institut (année 18.7), énoncé que la réduction en fractions continues 

 devait toujours effectuer la distinction des racines réelles et des racines ima-^i- 

 naires ; ma.s il n'a donné aucune preuve de cette assertion, et n'a pas non phis 

 explique de quelle manière ce dép.irt pouvait s'opérer. 



