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La première de ces deux conditions pourrait bien être remplie 

 inde'finiment, et alors la série des réduites convergerait vers un 

 nombre égal à la quantité « ; mais la seconde finira tôt ou tard 

 par ne l'être plus, puisque, les dénominateurs des réduites ciois- 

 sant indéfiniment , la différence de deux réduites consécutives 

 peut devenir moindre que toute quantité donnée. 



Il résulte de là que, par la suite des calculs , on parviendra 

 toujours à une équation qui se trouvera dans l'un de ces deux cas : 

 ou que tous ses fadeurs réels , tant du premier degré que du 

 second, seront composés de termes entièrement positifs ; ou 

 bien que ces facteurs seront positifs à l'exception d'un seul de 

 la forme {y — 9) ), 'f étant un nombre positif et ]> i. Dans le 

 premier cas, l'équation n'aura évidemment que des permanences; 

 dans le second , on sait déjà qu'elle doit avoir un nombre impair 

 de variations, et nous allons prouver que ce nombre impair finit 

 toujours par se réduire à un. 



N.o 3 Pour cela, faisons un moment abstraction du facteur 



{y — y) et de tous ceux qui lui correspondaient dans les équa- 

 tions en cr, x', x'\ . . .; puis, dans le produit des autres facteurs 

 de l'équation en x, produit que nous appellerons X et que nous 

 supposerons du degré m , remplaçons x par 



'ly-^p ± ^_P1'—9P' _ ^ ± 



9'y-^p' g' q'Wy-^p') q' q'{q'y*-p')' 



ou simplement faisons a: = ^ -h «, en posant , pour abréger, 

 —=.k et = M, 



9 q' Wy •+-P'} 



Alors, en représentant par K, K', K" KW, ce que devien- 



uent respectivement le polynôme X et ses dérivés successifs 



