66 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
& regarder fon ilence comme une invitation à la même re- 
cherche. Des deux formules que j'expotrai ici, l’une fe trouve 
exactement la même que lune des deux qu'il a données. 
J'ai effayé d'appliquer la même méthode à deux autres pro- 
blèmés, l'un fur les courbes dont la recification dépend de 
Jeur quadrature, autre fur les courbes à double courbure rec- 
tifiables; quoiqu'elle ne m'ait pas conduit à une folution ab- 
folument générale pour le premier de ces deux problèmes, les 
cas qu’elle m'a fournis font néanmoins aflez étendus. A l'égard 
du dernier, il a pour objet de déterminer non pas toutes les 
courbes à double courbure reétifiables, mais celles qui le font, 
en füuppofant qu'une de leurs projections foit rectifiable, & 
il me femble que la méthode que j'ai fuivie eft propre à Les 
donner toutes. 
PROBLÉME. 
Trouver des courbes aleebriques dont la rectification dépende 
d'une quantité donnée. 
PREMIÈRE SOLUTION. 
‘élément d'une courbe dont x & y font les coordonnées, 
eft y/dX + dy) que je fuppole — dy + rdx, donc 
dx # 1 
2dy mr ddx = C (pa rx) + xdr(i db 
puis donc qu'on demande des courbes algébriques, il faut que 
-) . . Fe) 3 . . 
xdr (1 +- End {oit intégrable: mais par les conditions du 
problème, rx ou xdr doit dépendre de la quantité don- 
née, puifque dy doit être intégrable; on doit donc fuppofer 
xdr = dp +- dv, dp étant intégrable, & dv de la forme 
propofée. I ne s'agit donc plus que de rendre {dp + dv) 
(ice — ) intégrable; je fuppofe d'abord dp (1 + —) 
intégrable, & puifque dp eft fuppofé tel, il faudra que _ 
: . À 2pdr : . 
ou, ce qui revient au MÊME, Que — —— le foit, ce qui 
