284 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
Je dis que les fommes de routes ces Jéies, À, B,C, D,é 
Jeront entr'elles, comme leurs premiers termes, —., + ce —, &c 
en tant que chacun de ces termes frattionnaires exprime le rapport 
du dénominateur au niumerareur, 
L'occafion que j'eus dernièrement de faire ufage de ce 
Problème fur un fujet de Phyfique, m'ayant conduit à cette 
folution, & à la démonftration qu'on en va voir, lune & 
Fautre me parurent fi fimples & fi directes, que je ne préfumai 
pas être le premier qui les eut aperçues. J'eus cependant la 
curiofité d'ouvrir les Livres que je croyois en devoir faire 
mention , & fur-tout l'excellent Traité de Seriebus infinitis, 
de M. Jacques Bernoulli, imprimé à la fin de fon Ar de 
conje“turer, ouvrage pofthume de ce grand Géomètre. C’eft-à 
en effet que je trouvai tout ce que j'ai vu de plus pofitif {ur 
ce fujet, & cette propofition, « qu'en toute férie infinie, 
» dont les numérateurs font égaux, & qui ont pour dénomi- 
» nateurs les nombres naturels, ou les quarrés, ou les cubes ; 
» où telle autre puiffance de ces nombres, la fomme de tous 
» les termes qui y occupent les lieux impairs, eft à fa fomme 
» de ceux des liéux pairs, comme une femblable puiffance du 
binaire moins l'unité eft à l'unité ». 
C'eft-à-dire, que dans le cas des quarrés, où le fecond 
terme de la férie À, eft “a Ja fomme de tous les termes 
des lieux impairs, eft à celle des fieux pairs comme 4 — 1; 
ou 3 eftà 1, & par conféquent, la toute à la partielle, en raifon 
de 4 à 1 comme il fuit aufli de ma propofition générale, 
Müis ce qu'il eft encore important de remarquer, c'eft que 
M. Bernoulli n'arrive à la démonflration de ce rapport dans 
l'application de fa théorie aux quarrés, que par le circuit de 
la férie des impairs décompofte en une infinité de progreffions 
géométriques, où chaque terme des lieux impairs fait le premier 
terme, telles que 
