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Suniiiienlinie genannt werden kann uiid zulotzt in cine Curve 

 iibergeht, wenn die Seiten desselben namlich mit den Gliedern 

 zugleicli unendlieh klein werden. Der schvvierigste Fall der Ent- 

 scheidnng iiber Convergent tritt ein , wenn diese Summenlinie 

 die im Scheitelpunkte des Winkels errichtete Ordinatenachse be- 

 riihrt; es handelt sich dann darum, zu entscheiden, ob diese ge- 

 dachte Curve eine Tangente oder eine Asymptote an die Ordi- 

 natenachse wird. Wenn nun das Gesagte analytisch ausgedriickt 

 wird, so ergibt sich fur die Untersuchung der Convergenz und 

 Divergenz, in der Sprache der Dift'erentialrechnung ausgedriickt 

 (obwohl auch elementar durchf "iihrbar) , folgender Algorithmus : 



Sei das allgemeine Glied der Ueihe m„ = — , so muss fur Con- 



1 Zn 



dz d^'y 



vergenz — " fiir n = cs^ ebenfalls = oo sein und — — fiir w =: oo 

 d)i dir 



positiv; ware der 2. Difi'erentialquotient gleich = 0, so ist die 



Reihe harmonisch divergent (so wie eine harmonische Reihe) und 



d^^ 

 fiir -—1 kleiner als noch mehr divergent. 



1. Bel spiel: u„ = — ; also ^„ =^ n«; . '" . = a w^ — 1 



d 



und ~" = a. (a — 1) ;*«— 2, also muss a > 1 



dn 



sem. 



2. B e i s p i e 1 : — — = m„ , also Zn = nln ; — — =i \ -\- In 



tilu dn 



= — , also harmonisch divergent. 

 dtr n 



r-l 



3. Be is pi el: m„ = ^^ -+- p . n ^ — , wodurch z„ = 



ii'" -j- pi .It" '-{-... 



"'" "T V\ -W"'"' -[-.. ^m-r \ r \ m-r-I I dz^ / \ „_r_ 



7i -Y pn + • . 



und ■ =^ {in — r){rn — r — l)n"'~''~^; also muss m> r -\- \ sein. 

 dn^ 



wenn m = r -|- 1 , so ist die Reihe schon harmonisch divergent ; 



diese Reihe ist die von Gauss in der Abhandlung Disquisitones 



durchgefiihrte; denn dort ist : _1L±I = ~*~ — li , demnach 



n -\- A.n 4" • • 



