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Der Verfasser betrachtet sodann die obenerwahnten &- 

 Quotienten fiir den allgemeinsten Fall, dass die Argumente : 



u^ -f fj und U2 -\- fj 



sind: wo fj | f^ ein ganz beliebiges Constantensystem bedeutet, 

 das als solches immer in der Form: 



fi = uj. -f u^; fa ^ ul' -4- u^ 

 darstellbar ist. Es ergeben sich fiinfzehn specifisch verschiedene 

 Formen soldier ■&• - Quotienten und ihnen aquivaleni bis auf Con- 

 stante die folgenden funfzehn algebraischen Formen, die aus der 

 Determinante : 



z/ 



]/f(x), |/f(x.), j/f (K,) 



x.]/f(x), Xi.i/f(xj, x^-Vn^) 



( X — Xi) (X - X,) (X, — X;) 



wo S = l/x(l — ^(1 — x'x) (1— ;i'x)(l — ju.*x) 



und Sj , S2 dieselben Functionen von Xj , x„ bezeichnen : resul- 

 tiren , wenn man darin der Ueihe nach fiir f (x) die fiinfzehn 

 Functionen : 



X, 1 — X, 1 — x-x, 1 — A'^x, 1 — iti'^x, 



x(l — x), x(l — x'^x), x(l — A^x), x(l — lu-'x), 



(1 — x) (1 — x-x), (1 - x) (1 — A-x), (1 — X) (1 — ft-^x), 



(1 - x"-x) (1— A"-x), (1— x'^x) (1 — iii^x), (1 — A2x)(l— /ii^x) 



einfuhrt, und jedesmal natiirlich fiir f (xj) und f (x^) dieselbe 



Function in Xj und X2. 



Setzt man x = 00, so geht z/ bis auf einen constanten 

 Factor iiber: entweder in 



wenn man fiir f (x) eine der fiinf ersten Functionen aus der 

 Keihe der obigen funfzehn gewahlt hat, oder in: 



Si . 1/f^ S2 . yri; 



^o = 



|/f(x,) l/f(x,) 



(Xi — X2) 



fiir eine der zehn letzten. Entsprechend vereinfachen sich fiir 

 X = 00 die z/ aquivalenten O'- Quotienten und es ergeben sich 

 unmittelbar die von Rosenhain schon friiher aufgestellten For- 

 mcln fiir den speciellen Fall, dass die Argumente der d"- Func- 

 tionen nur von zwei Variablen abhangen. z/j und z/j sind ge- 

 nau dieselben algebraischen Formen, die Rosenhain zum Ge- 

 genstand seiner Darstellnng gemacht hat. 



