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m 



TOO sinx 



Die Integrale von der Form J= I f (cosx) — ^dxlassen 



Jo 

 sich, wenn p eine ganze, positive, von Null verschiedene Zahl 



bedeutet, ferner m und p in einem solchen Zusammenhange stehen, 



m — p 



dass ( — 1)^1 ist, endlich f(cosx) eine derartige Function von 

 cosx vorstellt, dass die Vorzeichen der allenfalls in ihr enthaltenen 

 Wurzelgrossen entweder stets dieselben bleiben oder nur gleich- 

 zeitig mit dem von cos x eine Aenderung erfahren, durch passende 

 Zerlegung in eine unendliche Anzahl neuer, das Grenzintervall ^ 

 besitzenden Integrale , Reduction derselben auf einerlei Grenzen 

 und nachherige Summation unter dem gemeinschaftlichen Integral- 

 zeichen unter Anwenduug der von Euler fiir die Tangente ge- 

 gebenen harmonisch-periodischen Reihe auf das nur noch trigono- 

 metrische Functionen enthaltende Integral 



J = (-'>• 



-1^2 _ m , (Jp-1 



7-\ sinx jf (cosx) j^j^nj (cscx-|- cotx) -|- 



2r(p)^ 

 + ( — 1)""' f ( — cosx) T^-^_(cscx — cotx)> dx reduciren. 



Letzterer Ausdruck liefert fiir den Fall, dass f (cos x) = 

 cp (cos^x) cos'^x angenommen wird, das bemerkenswerthe Er- 

 gebnis, dass J denselben Werth behalt, wenn r, m, p der Reihe 

 nach entweder durch 2h — 1, 2n-f-l, 1 oder 2h, 2n-|-I, 1 oder 

 2h — 1, 2n + 2, 2 oder 2h, 2n + 2, 2 oder endlich durch 2h — 1, 

 2n + 3, 3 ersetzt werden. 



Was die hoheren Diflferentialquotienten der Cosecante und 

 Cotangente betrifft, so lassen sich dieselben ohne Induction sehr 

 einfach dadurch entwickeln, dass man von dem Satze Gebrauch 

 macht , ein beliebig hoher Differentialquotient von f (x) nach x 

 sei identisch mit dem gleichvielten von f (x -f y) nach y, wenn 

 man in letzterem y = o setzt. 



Die fiir J gefundene Formel liisst sich zur Ermittlung der 

 Eigenschaften und Berechnung der Integrale von der Form 



f'^ cos"'xsin"'x - r^ 1 — cos's , r°o sin"x dx 



Jo iP ' J„ ^' ^^' J^ l+2acos2x + a» * ^ 



mit Vortheil verwenden, indem sie in vielen Fallen allgemeinere 

 Formeln bietet, als die bisher fiir diese Ausdriicke bekannten. 

 Mit dem zuerst genannten Integrale sind auch jene von der 



/ ^^ cos'^x sin "^ flic 



Gestalt I dx nahe verwandt und lassen sich fiir 



Jo ^ 



ganze positive Exponenten ohne Schwierigkeiten berechnen. 



