V ^ = sin & sin ®j sin {i\ — v), 



et les deux cas de solution des équations (T.' . . . V.') nous donnent dans le 

 premier cas (il faut nous rappeler que U a = cos &, Z! a' = cos &^) : 



v^ = î, 0j = 90« + 0, V a = ^ + '^^' 



jLi du p 



a ^^ 1 



et comme en même temps =p /j^ = 0, il faut que toujours - = et par 

 suite - = 0; et /) sont les fonctions arbitraires de u. 

 Dans le second cas, nous aurons 



et alors 



■du ^ ^/ r</» 



H) = 



j-,c.,..(..-J^ + c) 



Ce calcul montre le caractère des systèmes des paraboles à une courbe 

 focale. Pour obtenir un tel système, il faut tracer dans le plan normal 

 mené dans un point de la courbe focale un système des paraboles confocales 

 qui ont leur foyer commun dans ce point et faire rouler ce plan sur la surface 

 polaire de la courbe focale. 



Le premier système est de rotation, sa courbe focale est l'axe de ro- 

 tation. 



Si la coui'be focale se réduit à un point, l'éqiuition fondamentale 

 prend la forme 



et pour ce système parabolique nous avons une seule condition, c'est-à-dire: 

 pour construire un système des paraboles confocales et normales à un sy- 

 stème 00 1 des surfaces il suffit d'indiquer le foyer commun et une surface 

 quelconque à laquelle toutes les paraboles doivent être normales. 



Enfin nous voulons montrer une certaine catégorie de systèmes para- 

 boliques dont les équations fondamentales sont très faciles à intégrer. 



Résolvons le système (I., . . V.) de manière que l'on ait en même temps 



alors 



