ZUR 



THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 



VON 



D r G. v. ESCHERICH, 



CORRESPONDIRENPEM MITGLIEDS DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 15. MAI 1885 



Tast zur selben Zeit als Herr Appell iu den Coinptes reudus ' ohne Beweis einen Satz über ganze Func- 

 tionen, gebildet aus den particulären Integralen einer homogenen linearen Differentialgleichung veröffent- 

 lichte, erwähnte ich 2 gewisse Determinanten, welche in der Theorie der linearen Differentialgleichung dieselbe 

 Bedeutung haben, wie die Potenzsummen in der Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer 

 algebraischen Gleichung. Von diesen Determinanten wird man, wie ich in den folgenden Blättern zeige, 

 geradezu von selbst auf den Satz des Herrn Appell geführt, der sich als die Unkehrung einer selbstverständ- 

 lichen Bemerkung und nicht allein auf homogene lineare Gleichungen beschränkt darstellt. Von den vielen 

 Anwendungen, die der Satz zulässt, habe ich nur einer grössere Aufmerksamkeit zugewandt: Den Deter- 

 minanten, welche die nothwendige und hinreichende Bedingung ausdrücken, damit eine nach den Elementen 

 eines Fundamentalsystems particulärer Integrale einer homogenen linearen Differentialgleichung ganze Function 

 mit constanten Coefficieuten Null oder einer ganzen Function der Unabhängigen gleich ist. Die Wichtigkeit 

 derselben für die Frage nach den algebraisch integrirbaren linearen Differentialgleichungen ist von selbst klar 

 und wurde von Fuchs 3 bei den linearen Differentialgleichungen der dritten Ordnung in volles Licht gesetzt. 

 Einer späteren Gelegenheit behalte ich es vor, die hier gegebeuen Grundlinien der Theorie dieser Formen weiter 

 auszuführen. 



I. 



Die nachfolgenden Entwickelungen beruhen auf einer Bemerkung, die sich in zwei früheren Arbeiten als 

 unmittelbare Consequenz der Formeln für die Resultante zweier linearen Differentialgleichungen ergab. Es 

 zeigte sich, dass: 



1. wenn y i; y t -..y K linear unabhängige particuläre Integrale der Differentialgleichung 



yW + a, yC»— *) + . . . + a„y = U 



1 Comptes rendus, Bd. XC und XCI. 



- Denkschriften dieser Akademie, Bd. XLVI und XLVII. 



3 Acta mathematica, Bd. II. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. LI. Bd. 



