Zur TJieoric der linearen Differentialgleichungen. 



2. In ähnlicher Weise lässt sich unter den frühereu Voraussetzungen auch die allgemeinere Determinante 

 berechnen : 



D,„ 



K) 3 5 • • ■ KX '> »Sr^ 5 yjj-p*+*> • • y { i 



(»"-pj 



-Pm) 



(»<-ß„, 



wo ß, , ßj...ßi, ,3+1 ■••,3,,, eine Pernmtation von 1, 2...;» ist. Man erhält zunächst 



D, 



_ V 



— 1)* 



K P. ^^P.»,-),»! 



K=\ p=l 



in n 



y ^« Pl u MPi ^-° • • y X a '- >A -' 



X=t p=i 



i'" _X) ') y { 2"~^+ i] 





yir w 



= 1 = 1 



z 



).=1 p=t 



J« f ,»4,t "• • X Z a ^^r X) ;^+ 



fc+i! . . «("'" >' ; .« 



X=l ;.= ! 



Diese Determinante lässt sich als das Product zweier Determinauteu auffassen und I),„ stellt sieh bienach 

 als das Product der beiden Ausdrücke dar: 



(-1)'' 



y { r l ; y\ m a 



y;r"; ^r ri 



\ 



= 1 



^« f ,,vio, Vi ; y «,.^1,,.,^ . . ^"Mi+i^, ■ _ ■•■-. ■'■■',, 



y« P i. 



f =i 



p=l f* = ' p=i f ,= t 



y.« P .»A,« 



pt 



<> 



















Diese letztere Determinante reducirt sich auf eine feten Grades, die aus ihr durch Unterdrückung der 

 Colonnen mit den Zeigern |3/.+i, ß, ;+3 ...ß„, entsteht, multiplicirt mit einer Potenz i von — 1, deren Exponent die 



Anzahl der nöthigen Vertauschungen angibt, um die Permutation 1,2... ß t+ \, ... ß„ m in 1 , 2 . . . m, ß, :+i . . . ß,„ 



überzuführen. Die Determinante selbst ist gleich dem Producte der Matrix 



.i,, V/ ; A. tPi • • A 



% 



