Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 7 



2. In ganz derselben Weise liisst sich offenbar die Untersuchung führen, auch wenn man die frühere 

 Voraussetzung, a p = 0, für jedes p, fallen lässt. Nur wird man in diesem Falle von der Bestimmung einer 

 Determinante (»a-f l) ten Grades ausgehen müssen und gelangt dann zu dem Resultate: 



Jede der Matrix 



(x l ) l ; (x i ) l 



(•»-Ol 







foVf, ; (x t ) m+l . . . (Om+i ; ifctPifctP • ■ •//.+> 



entnommenen Determinante (w-|-l)ten Grades ist gleich dem Ausdrucke 



"l/i | z n ) Ä 2i 

 '*?/> j -^21 ? 22 



• «2m j a 2 



«n, 1 5 a „. : 



"„„ ! «n, 1 i a «,i . . . « 



um j **n 



*±ytf 



■ >/,.,+ ii 



wenn man in dessen Matrix die mit den aus der ersten herausgehobenen gleichstelligen Colonuen unterdrückt, 

 und ihn mit einer Potenz von ( — 1) multiplicirt, deren Exponent die Zahl der Vcrtauschungen angibt, welche 

 nöthig sind, um die übrigbleibenden Colonnen in unveränderter Aufeinanderfolge zu den n ersten der Matrix 

 zu machen. 



Vermöge dieser Sätze ' erledigt sich unmittelbar der in I gestellte Vorwurf. 



III. 



Es wurde nun angenommen y it ij i . . . y m sei ein Fundamentalsystem particulärer Integrale der linearen 

 homogenen Differentialgleichung 



y'"'' + a t y( m -V + . . . + Om-iy' + a„,y — 0. 



Ist die ganze positive Zahl ; u>?« und etwa ;x = m + k, so hängen die Derivirten des y nach x von höherer 

 als der (m — l)ten Ordnung mit denen niedrigerer Ordnung durch das Gleichungssystem zusammen: 



ii" + ai^yb-- 1 ) + . . . +u '/" -+-«.._, ,,,)i<"' 



.//■ 



ij- ')+ . . . +a v .- i .„. ■ ,// -" + «,,._,._,„._.,,/. .!//"-'> + 



.'/ " +«i " 



wo 



<v=I©< 



n y 



i,k-ty = » 



■a,„y 



gesetzt wurde und hierin (X) einen Differentiationsindex bedeutet. 



1 Von ihren mannigfachen Anwendungen will ich hier um erwähnen, dass ans ihnen sich sofort der Werth des 

 Quotienten ergibt: 



_ j 1 J t 



s ± //Vi/2 • • • r'- 1 



wo die oberen Indices gauzzahlige positive Exponenten bedeuten, ausgedrückt durch die C'oefficienten der Gleichung, deren 

 Wurzeln y 1 ,y i ...y M sind. 



