Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 



ist gleich dem Ausdrucke 





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und hieraus ergibt sich 



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* i-— i z— 5 



i — ii "i — n ; — (i " * 



,i' . 



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wo die Determinante rechts durch Permutation der i , /, ... /, ; aus ihrem llauptgliede entsteht und hiebei alle a 

 mit negativem unterem Index Null zu setzen sind. 

 Aus dieser Formel ersieht man, dass 



1. Die Determinante höchstens vom Grade k in den Coefficienten der Gleichung und deren Differential- 

 quotienten ist, 



2. höchstens die &ten Derivirte der Coefficienten in ihr vorkommt, 



3. da im Ausdrucke für a hS bei jedem «/ die Summen des unteren und Derivationsindex, das sogenannte 

 Gewicht desselben i + l, constant v ist, so ist in jedem Gliede der Determinante die Summe der Gewichte ihrer 

 einzelnen Factoren, das Gewicht des Gliedes selbst, dieselbe Constante, und zwar gleich 



v,_l— 2— . . . — fc=2i— 5fc(i+n. 



IV. 



Hat man eine ganze Function / der Coefficienten einer homogenen linearen Differentialgleichung 



// " 4- ",// " ,—,) + - • . + «,,.-i.y' + a,„y = 



und der Derivirten derselben, so lässt sich f, indem man jeden Coefficienten durch die Elemente eines Funda- 

 mentalsystems: //,, i/ z - ■■!/,„ ausdrückt, in eine ganze Function F dieser Integrale und ihrer Derivirten, multiplicirt 

 mit einer Potenz von A = 2±y[ m ~ ' y ( £'~ ~ ■■■!/.„ umsetzen. Da also F gleich einem Producte aus f in eine 

 Potenz von Asich darstellt, so ändert sich Fnur um eine Potenz der Substitutionsdeterminante, wenn man in ihr 

 von dem angenommenen Fundamentalsysteme zu einem anderen übergeht. Somit ist diese Eigenschaft von 1' 

 eine nothwendige Bedingung, damit sich eine ganze Function der Elemente eines Fundamentalsystems und 

 ihrer Derivirten ausdrücken lasse durch das Product einer Potenz vonA in eine ganze Function der a und ihrer 

 Derivirten. Es soll nun untersucht werden, ob diese Bedingung auch hinreichend ist und hiebei der Weg ein- 

 geschlagen worden, den die oben gemachten Bemerkungen von selbst andeuten, nämlich F in ein Aggregal 

 von Determinanten der in III betrachteten Form aufzulösen. Auf diese Weise wird mau zu dem folgenden 

 Satze geführt: 



Wenn eine in den Elementen eines Fundamentalsystcms einer linearen Differential- 

 gleichung und deren Derivirten ganze Function heim Übergange von diesem Fundamenta 1- 

 systeme zu einem anderen bloss um einen constanten Factor sich ändert, so lässt sie sich 

 ausdrücken durch das Product einer Potenz der Determinante dieses Fun da mental Systems 



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