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in eine nach den Coe'fficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten ganze 

 Function. ' 



Mit den Elementen y v y. l - ,.y m eines Fundamentalsystems der Gleichung (1) mögen die Elemente u v u 2 . . . u m 

 eines anderen durch die Gleichungen zusammenhängen : 



"i =<fiU l +<i!ft+ ■ ■ ■ + <£y« 

 " = c \ V\ +4s/t+ ■ ■ ■ + c ii/>« 

 ««=cTyi+«?Ä+ • • • +o- 



Ist nun /'eine nach u^ u 2 ...u,„; u' l ,u'. z ...u'„...it^, u.^' ...it]' s ganze Function der (wr) teu Dimension, 

 welche kurz mit F(u) bezeichnet werde, so ist 



dF(u) dF du k dF du{ dF *"£° 



— + 



de) du de* ilu 1 de". tfwW dcl 



h 



und daher wegen 



h=i 



(1F( ii ) _ y dF 



dc\ ' — i dw 



T'Jl 



i 



Somit ist 



d-'F(u) X 1 (l\F 



' _ dnWduW . . . dulW 



(lr]'' de':' . . . ,/,•„, 



///;'v//;' • • ■ ;/,>■ 



Permutirt man nun in dieser Gleichung die h v h z ...h m und belässt bei jeder geraden Anzahl von Ver- 

 tauschungen den sämmtlichen Gliedern ihr ursprüngliches Zeichen, während man dasselbe bei jeder ungeraden 

 Anzahl von Vertauschungen in das entgegengesetzte verwandelt, so gibt die Addition aller auf diese Weise 

 erhaltenen Gleichuna-en: 



i&v 



d m F(u) V d n F 



dr^clc;:. . .d&im — J dll'l'dH'l-l . . . «/«('/J — • / *i Jk > " " ' ■''>,„ 



1 - M /', =. .= /' M = '■ 1 *• '• ,„ 



Damit nun die Summe links nicht verschwinde, müssen sowohl die h als auch die k unter einander ver- 

 schieden angenommen werden; in der Summe rechts sind bloss die Glieder von Null verschieden, in welchen 

 keine zwei l einander gleich sind: somit müssen sowohl die h, als auch die Ä; und l eine Folge der Zahlen 

 1, 2...m bilden. 



Setzt mau fest, dass in der Summe links das Glied . . . ., j-, das positive Zeichen haben soll, so erhält 



t 2 ' * m 



die obige Formel die Gestalt 



1 Appell, Comptes rendus, t. XC und XCI. Mau kann die ganze Function auch als eine Invariante eines Systems linearer 

 Formen auffassen, woraus die Eiehtigkeit des Satzes sofort einleuchtet. Der nachfolgende, durch die obigeu Bemerkungen 

 von selbst sich darbietende Beweis hat mit dem Clebsch's über die sj'mbolische Darstellung der Invarianten (Journal für 

 Mathematik, Bd. 59) den Grundgedanken gemein. 



