Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 



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d">F(u) 



'rfcf<rfc*'= 



dc k 



V 



/', = ... = /' =0 



#" F 



du[ ! , 



\<'<itt'>:f . . . du ", 



v ±y ;',) y p 



/ ■",,, 



wo e//,i' /,-„ die positive oder negative Einheit bezeichnet je nachdem k[, K...Ä', aus 1, 2... in durch eine 



gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschuugen gewonnen wird. Die Summe links erstreckt sich hierbei 

 über alle Permutationen //,, k'. r ..k'„„ die aus 1, 2... in gebildet werden können und rechts hat man für l[, /£.../'„ 

 alle Variationen zur wten Classe ohne Wiederholung der Zahlen 1, 2. . .« zu setzen. Fasst mau in dieser Summe 

 alle Glieder zusammen, deren l nur verschiedene Permutationen derselben Complexion darstellen, so erhält 

 man für den Coefficienten von 



S±yptfV>. • .y'y 



den Ausdruck 



S*'„*.. 



d m F 



dngVctagV . . . *#->' 



welche Summen man symbolisch auch durch die Determinante 



dF 



dF 



du\ r '> ' du<f<) ' 



dF dF 



du^ ' dup ' 



dF 



dF 



dufm)> dll^'v 



dF 



dF 



duM 



dF 



duVJ 



oder kürzer nach Cayley's Bezeichnungsweise mit (/{, Vi-..!',,) darstellen kann. 

 Man erhält so für die rechte Seite der obigen Gleichung 



Y,(l'l' . . . V 1 2 -t- //Ci) »/'''•' 



y'y, 



wo jetzt die Summe aus dem angeschriebenen Gliede erhalten wird, indem man für /',, /'-... V m alle Combinationen 

 ohne Wiederholung zur wten Classe der Zahlen 1, 2...n setzt. 



Bezeichnet Ti[, k" . . . k", eine zweite Folge der Zahlen 1, 2...?«, so erhält man durch Wiederholung dieser 



Überlegungen 



A«4',i' s . . . l.' m e/;", );"... . . >.■' 



d? m F 



f/r'l'' 



. . f/(''''«(/c'"i . . . de 4 '"« 



£""' ! 



In diesem Ausdrucke haben die &" und l" dieselben Werthe anzunehmen, als nach der vorhergehenden 

 Angabe bezüglich die k' und V und das Product der beiden Symbole (/',, l f t ...l' m ) (l", l"-.-l") ist in bekannter 

 Weise zu berechnen. In der Summe links ändert sich nun der Differentialquotient nicht, wenn man zwei k mit 

 demselben unteren Index vertauscht ; fasst man nun alle die Differentialquotienten, die dem oben angeschriebeneu 

 gleich sind, zusammen, so erhält man als deren Summe : 



{S(ee lVt . . .*'„**»,*",• 



■ *Oi 



de: 



,/•'- /•' 



. de^„dc\"< 



. . de '■■• 



