12 G. r. Escherich, 



Der Coe'fficient des Differentialquotieuten ist die Summe der von einander verschiedenen Ternie, die mau 

 aus dem angeschriebenen Gliede erhält, wenn man darin die k mit demselben unteren Iudex auf alle möglichen 

 Arten vertauscht. Die obige Gleichung nimmt nunmehr die Gestalt an, 



v>_ ££ _,,„. J 



I dc\ "... '/c mdc\ 



de; . . . de mder. > . ■ . d& m ■ ' "* ■ 



wo im Differentialquotienten der linken Summe für die 1/ und /.■" nur die Prodncte der Permutationen von 

 //,, k'. £ ...k'„ und U' v /,'/.../.'' beizubehalten sind, die sich uicht etwa bloss durch Vertauschungen von & mit dem- 

 selben unteren Index von einander unterscheiden. 



Bezeichnen nun /.'/'. V" ... //'' .... /.,', k;,. ..],■■ ebenfalls Permutationen der Zahlen 1, 2...m, so ergibt sich 



2\S(e# ■ ■ v . ■ . e k r jOl d "" l ' " ] 



aej ' . . . dc-j'i . . . dc\> . . .di 



= z\(l[...li, M/i'.../fi...i/-.../ i i^zb///'' 1 ....v„'> Sdby'f' ■••//;" -±.'//'' ••■y^« : 



In der Summe rechts haben die einzelnen Gruppen der l mit demselben oberen Index die früher angegebene 

 Bedeutung und die Invariante (V t l' % ... l' m ) (l"l%-.-l'£) ■■■ (7j/£... l r ) wird in bekannter Weise aus dieser ihrer 

 symbolischen Darstellung gewonnen; für die l sind alle von einander verschiedenen Producte aus je r C'oin- 

 binationen ohne Wiederholung zur j«ten C'lassc der Zahlen 1, 2...n zu setzen. Links bezeichnet jede Gruppe 

 der k mit demselben oberen Iudex eine Permutation von 1,2...»/; der Coe'fficient des obigen Differential- 

 quotienten wird durch Summiruug aller von einander verschiedenen Terme erhalten, die sich aus 



<'■,.. ,-,.,'.•■,. . .t" m ■ ■ • <•■,■-. . 



durch alle möglichen Vertauschungen der k mit demselben unteren Index ergeben; die Summe selbst wird 

 aus dem angeschriebenen Gliede gewonnen, indem man die k jeder Gruppe auf alle möglichen Weisen per- 

 mutirr, von diesen Gliedern aber nur jene beibehält, die nicht durch Vertauschungen von k mit demselben 

 unteren Index in einander übergeführt werden können. 



Der (»»»•)*« Differentialquotient in der obigen Formel ist wegen der Voraussetzung, dass F(u) nach den 

 n l ... ii „, . . . u ( fi . . . kW von der (w?r)ten Dimension sei, eine absolute Zahl. Ist nun F\y x ... y,„; >/[..■ y'„, ; y[" ] ■■•y i " ) \ 

 von der Beschaffenheit, dass 



F(u) = CF(y) 



wo / bloss von den c abhängt, die darin bis zur (jwr)ten Dimension ansteigen müssen, so ist 



ri- ( 



F(jt)2[S(eir. ...,.• . . . * t '. . .,; )] ■ 



dC\ ':lr,- . . . (IC .n . . . Cfcji de:,- . . . flfC* M | j 



= i-;i/!.../',h/7.../"i...(/ 1 .../ji:± //i ', ...//j'.. ...Xi/zv'...^;;,)], 



wo die Summen die früher angegebene Gestalt haben und der Differentialquotient von / und daher auch der 

 ganze Coe'fficient von F(y) eine absolute Zahl ist. Bezeichnet man denselben etwa mit — , so ergibt sich 



F(y) = »i2[(/'i...Zi I )...(^...^S±y^..^'->...S±yl'» , >...s^L > }. 



Dies ist also die Form, in welche jede nach //, ... y,„; ...y["K..i/"'> ganze Function der («r) teu Dimension 

 gebracht werden kann, wenn sie bei Vertauschung eines Fundamentalsystems mit einem anderen sieh bloss um 



