Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 1 3 



«inen constanten Factor ändert. Der Wertli des letzteren ergibt sich gleichfalls aus dieser Gleichung: er ist C' } 

 wo C= 2-4- eleu .. . c 1 " die Substitutionsdeterminante bezeichnet. 



Es hat nunmehr auch keine Schwierigkeit, den Wcrth von m in der obigen Formel zu bestimmen. Es ist 

 nämlich 





</<■;'' . ..<lc'>«( /(•;"'... dc i "m..,dc'\' ...i/r'' „ r/r,'' . . .dc^mde;"' ...(/(•'".» ...(/(•'' . .. (/<•'„ 



wo die hier auftretende Summe dieselbe wie oben ist. Somit ergibt sich 



1 



' :s '" „-«*,'■ ■ 





wo die Bedeutung der Summen aus den vorhergehenden Entwicklungen klar sind. 



Jede in der Formel (1) vorkommende Determinante lässt sich nun nach (III) durch ein Product aus 

 S'+yMIyf«-!].,, y m in eine nach den Coefficienteu der Differentialgleichung und ihren Differentialquotienten 

 ganze Function ausdrücken, womit die aufgestellte Behauptung bewiesen ist. 



2) Enthielte F ausser den y in analoger Weise auch die Elemente >?,,, r., ... r„, eines Fundamentalsystems 

 einer anderen Differentialgleichung: 



r ' -J- ff f. Iy ~ ' -'- -4- ff i r ' -'- ff r " — O 



und wäre JF eine nach den Grössen r /p v^ ... r,, t ... r,M «M... r,';' ganze Function (;io) tcn Grades, die sich beim 

 Übergange von einem Fundamentalsysteme zu einem anderen bloss um einen constanten Factor ändert, so zeigt 

 die Fortsetzung der eben auseinandergesetzten Überlegungen, dass F durch das Product aus 



in eine na«h den Coefficienteu der beidenDifferentialgleichungen und ihren Differentialquotienten ganze Function 

 sich ausdrücken lässt. 



An Stelle der Formel erhält man nämlich 



-±y^...^...-±y/."...y::;,)i;±,;'. ...vv.-.^iv;;,'..., 



wo die Bedeutung der einzelnen Zeichen nach dem Vorhergehenden keiner Erläuterung bedarf. Jede in der 

 Summe rechts vorkommende Determinante lässt sich nun nach III durch ein Product aus der Determinante der 

 Elemente des betreffenden Fundamentalsystems in eine nach den Coefficienten der zugehörigen Differential- 

 gleichung und ihren Differentialquotienten ganze Function ausdrücken. 



Es braucht wohl nicht weiter ausgeführt zu werden, dass und wie sich diese Betrachtungen auf Functionen 

 ausdehnen lassen, in welche die Elemente der Fundamentalsysteme mehrerer Differentialgleichungen eingehen. 



Von den vielen und wichtigen Anwendungen, welche der eben entwickelte Satz zulässt, ' will ich hier nur 

 eine behandeln, die für spätere Untersuchungen von Wichtigkeit sein wird: die Herleitung der notwendigen 

 und hinreichenden Bedingungen, unter denen eine ganze Function der Elemente eines Fundamentalsystems 

 einer homogenen lineareu Differentialgleichung identisch Null oder gleich einer ganzen Function der 



1 Appell, Comptes rendus, Bd. XCI. 



