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G. r. Escherich. 



Unabhängigen ist. Diese Bedingung ergibt sich aus dem bekannten Satze, dass mehrere Functionen einer Ver- 

 änderlichen in einer linearen Verbindung stehen, wenn deren Determinante verschwindet. Damit also die 

 Elemente eines Fuudamentalsystems einer homogenen linearen Differentialgleichung eine Gleichung bestimmten 

 Grades mit constanfen Coefficienten bilden, ist es nothwendig und hinreichend, dass die Determinante der 

 einzelnen Glieder dieser Gleichung verschwinde. Lässt sich nun zeigen, dass diese Determinante beim Über- 

 gange von dem angenommenen zu einem anderen Fundamentalsysteme sich nur um einen constanten Factor 

 ändert so kann ihr Verschwinden nach IV durch eine Relation zwischen den Coefficienten der Differential- 

 gleichung ausgedrückt werden, welcher Ausdruck dann die gesuchte hinreichende und notwendige Bedingung 

 ist. Durch wiederholte Differentiation lässt sich auf diesen Fall auch der allgemeinere zurückführen, dass 

 eine ganze Function der Elemente eines Fundamentnlsysteins mit constanten Coefficienten einer ganzen Function 

 der Unabhängigen gleich sein soll. 



Um die soeben angedeuteten Untersuchungen durchzuführen, will ich mit dem einfachsten Falle beginnen 

 und annehmen, es bestehe zwischen den Elementen y v y % eines Fundamentalsystems einer homogenen linearen 

 Differentialgleichung eine homogene ganze Relation »ten Grades mit constanten Coefficienten. Die nothwendige 

 und hinreichende Bedingnni;- hieflir gibt die Gleichung 



/.") 



fr'ih 



'.'/'; »' ; (.y'r'.'/ 2 >' • 



• -Vi 

 ■ ■ (y'i)' 



Setzt man nun 



(yj)w ; brr'yJ") • • • (!l'0"> 



». = ( ,ft + <!' ! ; "2 = '''.'/, -^<-C'.'/ 2 



so geht diese Determinante durch zeilenweise Multiplication mit 



über in 





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/ V< ,/n— ■'...'■'- 

 , Vü lc l L i 





-w 



,,-\ ,,./ »-S ,./,." 



c;K"-'<4' 



GW- 



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c'"-' c" 



t"" 



"1 



"T 



(«■y ; or 1 *^)' 



(w»)W : (ttf-'j/g)« 



(«»)' 



l wjj |W w. z. b. w. 



Dass die Determinante C, wie sich aus dem allgemeinen Satze in IV, 1 ergibt, die |»(w + l) Potenz 

 der Substitutionsdeterminante {c\c" — c"c',) ist, ersieht mau auch unmittelbar, wenn man sie zeilenweise 

 multiplicirt mit 



(-1) 



hi(n+t) 



c — (»)(»).. -Ol) 



(_!)■ jcv)^—^ ej (-1)* irr 1 )« 



...(-!)»<" 



„„_, , .-i>' ((yu-g"- 3 ^ (-1)' iCr'X- 3 ^^ 



; (-1)»^C? 



-' c ; 



.(— 1 1" ( |' 



