Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 



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dann erhält man als Product: 



(—1) 



' [ i - 



C 2 = 



(4«?-«?4>"; 



ur^-<c;v 



«) 











(i 





" 



(?)© 





= (-i: 



"('■:<- 



-cJ / cJ)»C» + l 



Daher 



c = ±««f— <o 



I »(« + «) 



wo aber, wie die Entwickelung des Diagonalgliedcs in C zeigt, das obere Zeichen zu nehmen ist. 



In ganz derselben Weise verfährt man, um die nothwendigc und hinreichende Bedingung zn erhalten, 

 welche zwischen den Coefficienten einer homogenen linearen Differentialgleichung stattfinden muss, damit die 

 Elemente eines Fundamentalsystems derselben in einer homogenen Verbindung »ten Grades zn einander stehen. 



Ich will diese Behauptung an dem Falle einer linearen Differentialgleichung der III. Ordnung erläutern 

 und zu diesem Behüte mit y i , y 2 , y 3 die Elemente eines Fundamentalsystems derselben bezeichnen, die 

 aneinander durch eine homogene Gleichung «ten Grades mit constanten Coefficienten gebunden seien. Die 

 Bedingung für die Existenz einer solchen Gleichung besteht in dem Verschwinden der Determinante der Glieder, 

 die sich aus der Entwickelung von (« 1 + y 2 + y :i V' nach Unterdrückung des Polynomialcoefficienten ergeben. 

 Wird diese Determinante mit Y bezeichnet, so zeigt sich, dass beim Übergänge vom Fnndamentalsystcme 



Ux-'Jv'Ji ™ 



"i — C [V\ + 4& + 4^3 



«2 = '''•/. + c "ih +4'y 3 



dieselbe von der entsprechenden Determinante Cder n { , w 2 , u 3 sich nur um einen constanten Factor unterscheidet 

 Mau erhält nämlich die Determinante U aus Y, indem mau letztere mit einer Determinante I) multiplicirt, die 

 folgendermassen gebildet wird. DieEleinente der crstenZeile sind der Reihe nach die Glieder der Entwickelung von 



0, + <B+e 3 )»; 



die der zweiten Zeile ergibt die Entwickelung von 



i'-, -fq-K; i "-'(,< + 4+< ,i 



wenn man hievon immer die Glieder zu einem Elemente vereinigt, die für c[ 



darüberstehende Element der ersten Zeile übergehen. So fortfahrend, erhält man die Elemente der (//-:- l)tcu 



Zeile in derselben Weise aus 



c„ tf. — f,, c. 



die der (« -:- 2)ten Zeile aus 

 die der (n -!- 3)ten aus 

 die der (w-t-4)ten aus 



(4+4+0". 



(«i+^+«s)"~ 1 (4 / +4 / +4')' 



( e, -:- f s -:- c 3 r—* (< { -;- ,{ + d ) . c*+ <>[ + ,_■[[ i , 



(e, •■:- c z +c 3 i'- :: i/ + <' + <"' ) 2 ('1'-:- 4'+ 4') "• s- f- 



