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Man erhält also die Elemente der Zeilen von I), indem man alle Combinationen mit Wiederholung de» 

 Grössen 



' zur «ten Classe nnd aus den Gliedern der Entwickelung jeder einzelnen Complexion in der angegebenen Weise 

 die Elemente einer Zeile bildet. 



Es ist nun klar, dass die Elemente der ersten Zeile in Y multiplicirt mit den gleichstelligen Elementen 

 irgend einer Zeile in D zur Summe einen Ausdruck haben, welcher ans der Complexion der 



(Ct + Ci+%), (ci+c;+</ 3 ), <'+ <%+(%), 



welche die Elemente der Zeile in D lieferte, erhalten wird, wenn man darin für e i : c l y l , c z : r 2 y i: c 3 : r^y. v . . . 

 { '"\'-' : "\'Jv '"'■' '"'/■" ''';'• r "'J:\ setzt. Folglich stellen die Elemente der ersten Zeile von U die sämmtlichen Com 

 binationen mit Wiederholung zur «ten Classe von u t , « 2 , u 3 dar und die Elemente jeder anderen Zeile werden 

 durch Differentiation der Elemente der vorangehenden Zeile erhalten: somit ist 



U— Y.D. 



Da nun die Determinante Y beim Übergänge vom Fundamentalsysfemc //,, y. v y. A zu u v u. v u t bloss um 

 einen constanten Factor sich ändert, so lässt sich auf sie der Satz IV anwenden. Nach demselben ist, nebenbei 



bemerkt, die Determinante D gleich der- '- — — — — - roten/, von SiCjCjc", was sich auch, wie beim 



früheren Falle einer linearen homogenen Differentialgleichung der Iffcu Ordnung, unmittelbar nachweisen Hesse. 



Es ist klar, dass die vorhergehende, für den Fall n»=j3 gegebene Entwickelung sich verallgemeinern lässt 

 und. man wird so zur Erkcnntniss geführt, dass die Determinante, deren Verschwinden die hinreichende und 

 nothwendige Bedingung ausdrückt, damit die Elemente y l ,y i ...y m eines Fundamentalsystcms einer linearen 

 homogenen Differentialgleichung eine homogene Relation «ten Grades mit constanten Coelficienten erfüllen, 

 sich bloss um einen constanten Factor ändert beim Übergange von y v y. l ...y„, zu einem anderen Fundamental - 

 Systeme. Auf diese Determinante findet daher der Satz IV Anwendung, und somit lässt sich die erwähnte 

 Bedingung durch eine Relation zwischen den Coefficienlen der Differentialgleichung und deren Differential- 

 quotienten ausdrücken. 



2) Bezeichnet mau mit Y die eben angegebene und mit CTdie analog aus den Elementen w„ » 2 ...»„ eines 

 anderen Fundamentalsystcms gebildete Determinante, so ist nach dem Vorhergehenden 



YD n = U 



wo I>„ nach (IV, 1) die Potenz '■ '—, — — - der Substitutionsdeterminante ist. Diese Gleichung bleibt 



v ' ' W»! 



nun offenbar bestehen, wenn man in Y statt jedes Elementes der ersten Zeile seine Ate Derivirte setzt, wodurch 

 in jeder Zeile von Y der Derivationsindex um k vermehrt wird. Nennt man die hiedurch aus Y erhaltene Deter- 

 minante Y K und die analog aus U entstandene U,., so ist also 



U, = D n Y, 



Die Determinante Y k kann daher wieder nach (IV, 1) umgeformt werden und ihr Verschwinden somit 

 durch eine Relation zwischen den Coefficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten ausgedrückt 

 werden. Y k = ist aber die nothwendige und hinreichende Bedingung, damit eine homogene Function »ten 

 Grades zwischen y v y i ...y m mit constanten Coefficienten einer ganzen Function (k — l)ten Grades der 

 Unabhängigen gleich sei, und dieser Bedingung ist also die gewonnene Relation zwischen den Coefficienten 

 äquivalent. 



