Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 1 7 



3) Damit eine ganze Function «ten Grades der Elemente y v y t ...y m eines Fundameutalsystemes ver- 

 schwinde, ist es hinreichend und nothwendig, dass die Determinante verschwinde, deren Elemente die einzelnen 

 Glieder der Entwickelang von (y, + y z + . . . + y„) n , (</, + y 2 + . . . -+- y m )" _1 . . . (y, -+- y t + ■ . ■ + y,„) ' nach Weg- 

 lassung der Polynomialcoefficienten sind. Bezeichnet man diese Determinante mit Y und die analog aus den 

 Elementen u 1 ,h z ...u„, eines anderen Fundamentalsystems gebildete mit U, so wird diese aus jener durch 

 Multiplicafion mit der folgenden aus den Elementen der Subsfitutionsdeterminante zusammengesetzten Deter- 

 minante D erhalten. Ihre von Null verschiedenen Elemente sind geordnet zu «-Quadraten, deren Diagonalen n 

 an einander stossende Stücke der Hauptdiagonale von D sind und längs derselben der Reihe nach die 

 Determinanten D n , D n ^\...D x der von (2) bilden. Es ist also ' 



V—BY. 



Diese Gleichung bleibt nun offenbar erhalten, wenn man Y, statt es aus den eben verwendeten Functionen, 

 aus ihren fcten Derivirten bildet. Die Gleichung Y= drückt aber in diesem Falle aus, dass eine ganze 

 Function »ten Grades der Elemente dieses Fundanientalsystems //,, y i .--y m mit constanteu Coefficienten gleich 

 einer ganzen Function der Unabhängigen ist. 



Wegenderoben bewiesenen Eigenschaft lässt sich in beiden Fällen auf die Determinante Y der Satz 

 (IV. 1) anwenden, und man gelangt so zu dem Ergebnisse: 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung, damit eine ganze Function der 

 Elemente eines Fundamentalsystems einer linearen Differentialgleichung gleich Null 

 oder einer ganzen Function der Unabhängigen ist, lässt sich durch eine Relation 

 zwischen den Coefficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten mittelst IV, 1 

 ausdrücken. 



4) In der vorhergehenden Determinante Y haben die Elemente jeder Zeile denselben Derivationsindex, 

 es ist jedoch klar, dass die Beziehung 



U=DY 



bestehen bleibt, wenn man in Fdie Derivationsindices irgend welcher Zeilen verändert und in J7die analogen 

 Veränderungen vornimmt. Also auch auf die so gebildeten Determinanten findet der Satz IV Anwendung. 



VI. 



Die Besonderheit der im Vorhergehenden besprochenen Determinanten, zumal der in V, 2 erwähnten, 

 gestattet bei Anwendung der Formel III einige Vereinfachungen, die zunächst bemerkt werden mögen. 

 Die in Rede stehenden Determinanten haben die Form 



wo die oberen Indices Derivationszeiger bedeuten und 



m(m -f-1) . . . (m-hn — 1) 



IL — 



ist. 



,t 



Diese Determinante erhält man zunächst aus der Entwicklung von 



(rö*''(yrW' • • • ($,)*v-i 



wo &£, /^...ä^-j eine Folge der Zahlen k , k t ...k^-t bezeichnen, wenn man darin die V Q , &{...&£._! anfalle 

 möglichen Weisen permutirt und je nachdem diese Permutation aus k , Ä-, ...Ä-„.-i durch eine gerade oder 



1 Zu demselben Ergebniss gelangt man durch Anwendung des La Place'schen Determinantensatzes, indem hiebei Y 

 in ein Aggregat von Producten aus Determinanten der in (2) behandelten Form auflöst. 



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