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ungerade Anzahl von Vertauschungen gewonnen wird, den durch dieselbe erhaltenen Ausdruck mit dem 

 positiven oder negativen Vorzeichen zu den anderen addirt. Um die einzelnen Differeutialquotienten des obigen 

 Productes zu berechnen, gebraucht man die symbolische Formel 



Pl l Pi \...p m \ i 



wo 



Pl + p % + . . . + p m = jö. 



Hieraus folgt, dass in der Entwickelung des obigen Productes die Summe der Derivationsindices der 

 y v y t ...y m in jedem Gliede gleich 



k -i-k l + . . . +£ |Jl _t 

 ist. 



Ist speciell, wie in V: k ■=. k, fc, = Ä • + 1 . . . Ä- H ._ ( = l • + ^ — 1, so ist 



fe£ + fc| + • . . + &£. = /JL&H-|jüt(^t — 1), 



Bei Anwendung der Formel in IV auf den vorliegenden Fall haben also die /',, V % ...V m . . . l ( {\ 1$ . . .ffl 

 die Gleichung zu befriedigen 



2Z' + 2Z" + . . . +2ZM = fAfc + !fx(fJi— X), 



wo r = — ist. Diese Gleichung ermöglicht es, bei gegebenem m und n die litterale Form des Ausdruckes herzu- 



m 



stellen, dessen numerische Coefficienten dann, ähnlich wie bei den symmetrischen Functionen der Wurzeln 

 einer Gleichung, auf verschiedene Weise bestimmt werden können. 



2) Die Determinante Y lässt sich nach dem wiederholt citirten Satze umsetzen in 



Y=MA r F(a 1 , « 2 . . . a« . .) 



wo il/eiue reine Zahl, A die Determinante des Fundamentalsystems ij v y^.-.y,,, der Differentialgleichung und 

 F eine ganze Function ihrer Coefficienten und deren Differentialquotienten bedeuten. Vom Baue dieser ganzen 

 Function lässt sich nun leicht eine wesentliche Eigenschaft ermitteln. 



Man bilde die der Y analoge Determinante [Y] für die Differentialgleichung, die aus 



d"'y d — ' ii dy _ 



dar ' dx 1 "-' 1 ' dx 



hervorgeht, wenn man hierin x •=. pt; setzt, wo £ eiue neue Variable und p eine beliebige Constante bezeichnen. 

 Stellt 



d"> ij , i/"'- 1 « dy . _ 



diese Gleichung dar, so ist 



A x =p l [ax), 



wo die eckige Klammer anzeigt, dass in ci\ für x : pE gesetzt wurde. 

 Für die Differentialquotienten des A\ nach f erhält man aus 



d'cii _ . d'ax 

 dg ~ P dx< 



dg dx'' 



